Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 01 Februarie, 2012

OPERATII CU FRACTII ORDINARE

Suma algebrica a 2 sau mai multe fractii.

Exemplu:

$\frac{1}{6}-\frac{5}{9}+\frac{17}{10}=\frac{1\cdot15}{6\cdot15}-\frac{5\cdot10}{9\cdot10}+\frac{17\cdot9}{10\cdot9}=\frac{15}{90}-\frac{50}{90}+\frac{153}{90}=\frac{118}{90}=\frac{118:2}{90:2}=\frac{59}{45}=1\frac{14}{45}.$ \frac{1}{6}-\frac{5}{9}+\frac{17}{10}=\frac{1\cdot15}{6\cdot15}-\frac{5\cdot10}{9\cdot10}+\frac{17\cdot9}{10\cdot9}=\frac{15}{90}-\frac{50}{90}+\frac{153}{90}=\frac{118}{90}=\frac{118:2}{90:2}=\frac{59}{45}=1\frac{14}{45}.

Au fost parcursi urmatorii pasi:

S-a calculat numitorul comun (c.m.m.m.c. al celor 3 numitori);
S-au adus fractiile la acelasi numitor (anume [6;9;10]=90), prin amplificarea fiecareia cu catul dintre 90 si numitorul acesteia;
S-a efectuat suma algebrica a numaratorilor astfel obtinuti si s-a pastrat numitorul comun;
S-a simplificat fractia obtinuta;
S-a scos intregul din fractie.

Produsul a 2 sau mai multe fractii.

${\frac{a}{b}}\cdot{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot{c}}{b\cdot{d}}.$ {\frac{a}{b}}\cdot{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot{c}}{b\cdot{d}}.

Observatii:

Procedura este aceeasi in cazul produsului mai multor fractii;
Este recomandabil ca inaintea inmultirilor sa se efectueze toate simplificarile posibile.

Catul a doua fractii.

${\frac{a}{b}}:{\frac{c}{d}}=$ {\frac{a}{b}}:{\frac{c}{d}}= ${\frac{a}{b}}\cdot{\frac{d}{c}}=$ {\frac{a}{b}}\cdot{\frac{d}{c}}= $\frac{a\cdot{d}}{b\cdot{c}}.$ \frac{a\cdot{d}}{b\cdot{c}}.

Transformarea unei fractii ordinare in fractie zecimala (numar zecimal).

O fractie ordinara x = a/b ireductibila (deci (a,b) =1) se transforma, prin

impartirea numaratorului la numitor, in:

Fractie zecimala periodica simpla, daca numitorul sau, descompus in factori

primi, nu contine nici pe 2, nici pe 5.

Exemplu:

13/21 = 13/3·7 = 0,619047619047 ... = 0,(619047).

Fractie zecimala periodica mixta, daca numitorul sau, descompus in factori

primi, contine pe langa 2 sau 5 si alti factori diferiti de acestia.

Exemplu:

1/6 = 1/2·3 = 0,1666 ... = 0,1(6).

Observatii:

1) Orice numar intreg se poate scrie ca fractie periodica simpla.

Exemplu: - 47 = - 47,000 ... = - 47,(0).

2) Orice numar rational (de forma p/q, cu p si q intregi, q nenul), poate fi scris sub

forma unei fractii periodice (simpla sau mixta).

3) Avand in vedere faptul ca numerele irationale (reale, dar nu rationale) se pot

reprezenta sub forma de numere zecimale, la care cifrele zecimale nu se repeta, putem

afirma ca orice numar real este o fractie zecimala (periodica sau nu) cu o infinitate de

zecimale.

Transformarea unei fractii periodice in fractie ordinara.

Fractia zecimala periodica simpla (subunitara) se transforma in fractie ordinara astfel:

$0,({a_1a_2a_3}\cdots{a_p})=$ 0,({a_1a_2a_3}\cdots{a_p})= $\begin{matrix}\underbrace{\frac{\overline{{a_1a_2}\cdots{a_p}}}{{999}\cdots{9}}}\\p\end{matrix}.$ \begin{matrix}\underbrace{\frac{\overline{{a_1a_2}\cdots{a_p}}}{{999}\cdots{9}}}\\p\end{matrix}.

Exemple:

1) 0,(72) = 72/99 = 8/11.

2) - 53,(063) = - [53 + 0,(063)] = - (53 + 063/999) = - (53 + 7/111) = - 5890/111.

Alternativa:

- 53,(063) = - (53.063 - 53)/999 = - (53.010/999) = - 5.890/111.

Fractia zecimala periodica mixta (subunitara) se transforma in fractie ordinara astfel:

$0,{a_1a_2a_3}\cdots{a_n}({a_{n+1}a_{n+2}}\cdots{a_{n+p}})=\frac{\overline{{a_1}{a_2}\cdots{a_n}{a_{n+1}}\cdots{a_{n+p}}}-\overline{{a_1}{a_2}\cdots{a_n}}}{999\cdots9000\cdots{0}}$ 0,{a_1a_2a_3}\cdots{a_n}({a_{n+1}a_{n+2}}\cdots{a_{n+p}})=\frac{\overline{{a_1}{a_2}\cdots{a_n}{a_{n+1}}\cdots{a_{n+p}}}-\overline{{a_1}{a_2}\cdots{a_n}}}{999\cdots9000\cdots{0}}

(la numitor cifra 9 se repeta de p ori, iar cifra 0 se repeta de n ori).

Exemple:

1) 0,23(4) = (234 - 23)/900 = 211/900.

2) 15,0(81) = 15 + 0,0(81) = 15 + (081-0)/990 = 15 + 81/990 = 15 + 9/110 = 1.659/110.

Alternativa:

15,0(81) = (15.081 - 150)/990 = 14.931/990 = 1.659/110.

De retinut:

$\overline{{a_1a_2a_3}\cdots{a_n}}={a_1}\cdot{10}^{n-1}+{a_2}\cdot{10}^{n-2}+\cdots+{a_{n-1}}\cdot{10}^1+{a_n}\cdot{10}^{0}$ \overline{{a_1a_2a_3}\cdots{a_n}}={a_1}\cdot{10}^{n-1}+{a_2}\cdot{10}^{n-2}+\cdots+{a_{n-1}}\cdot{10}^1+{a_n}\cdot{10}^{0}