Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»INTEGRAREA FUNCTIILOR RATIONALE

Numim functie raţională orice funcţie f:I - > R, I interval, iar

f(x) = P(x)/Q(x), unde P şi Q sunt funcţii polinomiale din R[X], iar Q(x) este

nenul, oricare ar fi x din I.

O funcţie raţională se numeşte simplă dacă:

este polinomială din R[X];
are forma unui cât dintre o constanta reală şi binomul x - a ridicat la o

putere naturală nenulă, iar x aparţine unui interval ce nu conţine numărul

real a;

are forma unui cât dintre un polinom din R[X], de grad cel mult 1 şi un

polinom de gradul al doilea, ireductibil peste R[X], ridicat la o putere naturală

nenulă.

În cele ce urmează este prezentat algoritmul în baza căruia integrarea unei

funcţii raţionale oarecare se reduce la integrarea unor functii raţionale simple.

DESCOMPUNEREA IN FUNCTII RATIONALE SIMPLE

Data publicarii: 19.04.2011

Teorema:

Orice functie rationala f:I -> R, cu I interval, unde f(x) = P(x)/Q(x), poate fi scrisa sub

forma unei sume finite de functii rationale simple, astfel:

Daca descompunerea numitorului in factori ireductibili peste R[X] este

$Q(x)={(x-a_1)^{n_1}}{(x-a_2)^{n_2}}\cdots{(x-a_p)^{n_p}}\cdot{(x^2+b_1x+c_1)^{m_1}}\cdots{(x^2+b_qx+c_q)^{m_q}},$ Q(x)={(x-a_1)^{n_1}}{(x-a_2)^{n_2}}\cdots{(x-a_p)^{n_p}}\cdot{(x^2+b_1x+c_1)^{m_1}}\cdots{(x^2+b_qx+c_q)^{m_q}},

atunci:

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=L(x)+\sum_{k=1}^{k=p}{[\frac{A_k^1}{(x-a_k)^1}+\frac{A_k^2}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_k^{n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}]}+$ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=L(x)+\sum_{k=1}^{k=p}{[\frac{A_k^1}{(x-a_k)^1}+\frac{A_k^2}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_k^{n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}]}+

$+\sum_{k=1}^{k=q}{[\frac{B_k^1x+C_k^1}{(x^2+b_kx+c_k)^1}+\cdots+\frac{{B_k^{m_k}}x+C_k^{m_k}}{(x^2+b_kx+c_k)^{m_k}}}],$ +\sum_{k=1}^{k=q}{[\frac{B_k^1x+C_k^1}{(x^2+b_kx+c_k)^1}+\cdots+\frac{{B_k^{m_k}}x+C_k^{m_k}}{(x^2+b_kx+c_k)^{m_k}}}],

unde L este o functie polinomiala cu coeficienti reali, p, q sunt numere naturale

nenule, iar $a_k,\;b_k,\;c_k,\;A_k^i,\;B_k^i,\;C_k^i,$ a_k,\;b_k,\;c_k,\;A_k^i,\;B_k^i,\;C_k^i, sunt numere reale.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: DESCOMPUNEREA IN FUNCTII RATIONALE SIMPLE

Postat în INTEGRAREA FUNCTIILOR RATIONALE|Vezi comentarii (0)

EXERCITIUL 1

Data publicarii: 20.04.2011

Suport teoretic:

Primitivele unei functii rationale simple.

Enunt:

Sa se calculeze primitivele functiei f:(0, + 00) - > R,

$f(x)=\frac{1}{2x+3}.$ f(x)=\frac{1}{2x+3}.

Raspuns:

$F(x)=ln{\sqrt{2x+3}}+\mathcal{C}.$ F(x)=ln{\sqrt{2x+3}}+\mathcal{C}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXERCITIUL 1

Postat în INTEGRAREA FUNCTIILOR RATIONALE|Vezi comentarii (0)

EXERCITIUL 2

Data publicarii: 13.05.2011

Suport teoretic:

Calculul primitivelor unei functii rationale simple.

Enunt:

Sa se calculeze primitivele functiei f:(- oo, 0) - > R, unde legea functiei este:

$f(x)=\frac{1}{(x-3)^5}.$ f(x)=\frac{1}{(x-3)^5}.

Raspuns:

$F(x)=-\frac{1}{4(x-3)^4}+\mathcal{C}.$ F(x)=-\frac{1}{4(x-3)^4}+\mathcal{C}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXERCITIUL 2

Postat în INTEGRAREA FUNCTIILOR RATIONALE|Vezi comentarii (0)

EXERCITIUL 3

Data publicarii: 23.05.2011

Suport teoretic:

Integrarea functiilor rationale, descompunerea in fractii simple, polinoame cu coeficienti intregi, schema lui Horner, metoda coeficientilor nedeterminati, rezolvarea unui sistem liniar, proprietatlie logaritmilor, formule de primitivare directa.

Enunt:

Sa se calculeze urmatoarea integrala definita:

$I=\int_1^2{\frac{1}{x^4+2x^3+2x^2+2x+1}}{dx}.$ I=\int_1^2{\frac{1}{x^4+2x^3+2x^2+2x+1}}{dx}.

Raspuns:

$I=ln{\sqrt[4]{0,9}}+\frac{1}{12}.$ I=ln{\sqrt[4]{0,9}}+\frac{1}{12}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXERCITIUL 3

Postat în INTEGRAREA FUNCTIILOR RATIONALE|Vezi comentarii (0)

LE FRANCAIS

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

DESCOMPUNEREA IN FUNCTII RATIONALE SIMPLE

EXERCITIUL 1

EXERCITIUL 2

EXERCITIUL 3

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului