Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 13 Ianuarie, 2009

TEORIE

Inel: 

Fie o multime nevida A, inzestrata cu doua legi de compozitie interna

(peste tot definite, adica multimea A este stabila faţă de cele două legi);

tripletul (A,\oplus,\otimes)(A,\oplus,\otimes) se numeşte inel, în cazul când:

a) Cuplul (A ,\oplus)(A ,\oplus) este grup abelian;

b) Cuplul (A ,\otimes)(A ,\otimes) este monoid;

c) Legea \otimes\otimes este distributivă bilateral, faţă de legea \oplus.\oplus.

Dacă legea \otimes\otimes este comutativă, atunci inelul este comutativ.

Observatie:

Elementele simetrizabile faţă de legea \otimes\otimes  se numesc unităţile inelului.

Domeniu de integritate (inel integru):

Inel comutativ, (A,\oplus,\otimes),(A,\oplus,\otimes), cu cel putin doua

elemente si fara divizori ai lui zero, adica

\forall{x,y}\neq{0}\Rightarrow{x}\otimes{y}\neq{0},\forall{x,y}\neq{0}\Rightarrow{x}\otimes{y}\neq{0},

unde 0 reprezinta elementul neutru fata de legea \oplus.\oplus.   

Corp:

Fie o multime nevida K, inzestrata cu doua legi de compozitie interna

(peste tot definite, adica multimea K este stabila fata de cele doua legi).

Tripletul (K,\oplus,\otimes)(K,\oplus,\otimes) se numeste corp daca acest triplet este

inel in care elementele neutre fata de cele doua legi sunt distincte, iar toate

elementele din K, diferite de elementul neutru fata de legea {\oplus},{\oplus},

sunt simetrizabile fata de legea \otimes.\otimes.  

Daca legea \otimes\otimes este comutativa, atunci corpul este comutativ,

numindu-se, in acest caz, câmp.

Morfisme si izomorfisme de inele si corpuri:

Inelele (A,\oplus,\otimes)(A,\oplus,\otimes) si (A(A',\ast,\circ)  

se numesc omomorfe daca exista o functie

f:{A}\rightarrow{Af:{A}\rightarrow{A'},

cu proprietatile:

a)a) {f({x}\oplus{y})}={f(x)}\ast{f(y)},\forall{x,y}\in{A};{f({x}\oplus{y})}={f(x)}\ast{f(y)},\forall{x,y}\in{A};

b)b) {f({x}\otimes{y})}={f(x)}\circ{f(y)},\forall{x,y}\in{A};{f({x}\otimes{y})}={f(x)}\circ{f(y)},\forall{x,y}\in{A};

c)c) f(1)=1^{f(1)=1^{'},

unde 1 si 1' sunt elementele neutre ale celor doua inele, fata de legile

\otimes,\otimes, respectiv o (legile multiplicative ale inelelor); functia f

se numeste morfism de inele.

Daca functia f este, in plus, bijectiva, atunci ea se numeste

izomorfism de inele,iar inelele se numesc izomorfe.

Corpurile (K,\oplus,\otimes)(K,\oplus,\otimes) si (K(K',\ast,\circ)  se numesc

omomorfe, respectiv izomorfe, daca inelele

(K,\oplus,\otimes)(K,\oplus,\otimes) si (K(K',\ast,\circ)  

(orice corp este, in acelasi timp si inel !) sunt omomorfe sau izomorfe.

Observatii:

a) Orice morfism de la un inel (corp) la el insusi se numeste endomorfism;

b) Orice izomorfism de la un inel (corp) la el insusi se numeste automorfism;

c) Orice morfism injectiv se numeste monomorfism;

d) Orice morfism surjectiv se numeste epimorfism;

e) Daca f:{A}\rightarrow{Af:{A}\rightarrow{A'}  este morfism de inele, atunci

{Imf}=\begin{Bmatrix}{y}\in{A{Imf}=\begin{Bmatrix}{y}\in{A'}|\exists{x}\in{A}, f(x)={y}\end{Bmatrix}

(imaginea morfismului) si 

Kerf=\begin{Bmatrix} {x}\in{A}|f(x)={0Kerf=\begin{Bmatrix} {x}\in{A}|f(x)={0'}\end{Bmatrix},

(nucleul morfismului),

unde 0' reprezinta elementul nul al inelului A', sunt subgrupuri ale grupurilor

(A',*), respectiv (A,\oplus).(A,\oplus).

Teorema 1:

Orice morfism de corpuri este monomorfism (este injectiv).

Teorema 2:

Un corp nu admite divizori ai lui zero.

Teorema 3:

Orice corp finit este comutativ (teorema lui Wedderburn).


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Erata

Dumitru, 08.10.2017 16:35

La defini?ia morfismului: c) f(1)=1'

Răspuns: Multumesc pentru observatie . Am corectat.

Demelza

ZGA4kuxBC, 15.08.2016 20:21

The exerstipe shines through. Thanks for taking the time to answer.

corpuri

ioan, 25.11.2010 09:59

E bun site-ul

Răspuns: Mul?umesc !

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http://dirigentia.blogspot.ro/p/noi.html

http:// www.supermatematic

https://www.bursadefericire.ro/sms-8844-spital

Developed by Hagau Ioan