Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Inegalităţile stricte sau nu, din aritmetică, algebră, geometrie

şi trigonometrie, izvorâte din consideraţii de ordine pe mulţimea

numerelor reale, sau în legătură cu semnul unei expresii algebrice,

constituie tot atâtea pietre de încercare la examenele şi concursurile şcolare.

Cele mai "exploatate" inegalităţi, din matematica studiată în gimnaziu,

sunt următoarele:

TEORIE

Data publicarii: 08.02.2012

Proprietati uzuale: 

  • a ≤ b si b ≤ c = >  a ≤ c; (tranzitivitate)
  • a ≤ b si b ≤ a = >  a = b; (antisimetrie)
  • a ≤ b si c ≤ d = >  a + c ≤ b + d;
  • a ≤ b             = > a·c ≤ b·c, unde c > 0;
  • a ≤ b             = > a:c ≤ b:c, unde c > 0;
  • a ≤ b             = > a·c b·c, unde c < 0;
  • a ≤ b             = > a:c b:c, unde c < 0;

Inegalitati uzuale:

1)\;{a^2 + b^2}\geq{2ab},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}};1)\;{a^2 + b^2}\geq{2ab},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}};  

(egalitate daca si numai daca a = b).

2)\;{a^2 + b^2 + c^2}\geq{ab + bc + ca},\forall{a,b,c}\in{\mathbb{R}};2)\;{a^2 + b^2 + c^2}\geq{ab + bc + ca},\forall{a,b,c}\in{\mathbb{R}};

(egalitate daca si numai daca a = b = c).

3)\;|\frac{a}{b} + \frac{b}{a}|\geq2,\forall{a,b}\in{\mathbb{R}};3)\;|\frac{a}{b} + \frac{b}{a}|\geq2,\forall{a,b}\in{\mathbb{R}};

(egalitate daca si numai daca a = +b, sau a = -b).

4)\;|{x_1}+{x_2}|\leq{|{x}_{1}|+|{x}_{2}|},\forall{{x}_{1},\;{x}_{2}}\in{\mathbb{R}};4)\;|{x_1}+{x_2}|\leq{|{x}_{1}|+|{x}_{2}|},\forall{{x}_{1},\;{x}_{2}}\in{\mathbb{R}};

(egalitate, daca x1= 0 sau x2 = 0, sau x1 · x2Є[0,+oo)).

5)\;{|a|}\leq{c}\Leftrightarrow -{c}\leq{a}\leq{c},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.5)\;{|a|}\leq{c}\Leftrightarrow -{c}\leq{a}\leq{c},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.

6)\;{|a|}\geq{c}\Leftrightarrow {a}\in{(-\infty,-c]\cup[c,+\infty)},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.6)\;{|a|}\geq{c}\Leftrightarrow {a}\in{(-\infty,-c]\cup[c,+\infty)},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.  

Inegalitatile mediilor(armonicageometricaaritmeticapatratica):

CONTINUARE LA : TEORIE

EXERCITIUL 10

Data publicarii: 17.10.2016

Suport teoretic:

Valoare minima,identitati remarcabile.

Enunt:

Fie E(x,y) = 4x² + 9y² - 12x - 12y + 14 .

Sa se afle numerele reale x si y, astfel incat expresia E(x,y) sa aiba valoarea minima . 

Raspuns: 

x = 3/2, y = 2/3 . 

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 10

EXERCITIUL 9

Data publicarii: 06.05.2015

Suport teoretic:

Functii,identitati remarcabile.

Enunt:

Fie functia 

f:R ->R, f(x) = x² - 3x + 1.

Sa se arate ca f(x) ≥  -5/4, oricare ar fi x real.


CONTINUARE LA : EXERCITIUL 9

EXERCITIUL 8

Data publicarii: 24.11.2014

Suport teoretic:

Inecuatii,inegalitati,descompuneri in factori,identitati remarcabile.

Enunt:

Sa se arate ca

{x^4 +x^3+2x^2+x+1} > 0,{x^4 +x^3+2x^2+x+1} > 0,  

oricare ar fi x real.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 8

EXERCITIUL 7

Data publicarii: 07.11.2014

Suport teoretic:

Inegalitati,calcul prescurtat,patratul binomului.

Enunt:

Sa se demonstreze ca

{x^4-3x^3+6x^2-3x+1}>{0},\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}.{x^4-3x^3+6x^2-3x+1}>{0},\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 7

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan