Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»INEGALITATI

Inegalităţile stricte sau nu, din aritmetică, algebră, geometrie, trigonometrie

şi analiză, izvorâte din consideraţii de ordine pe mulţimea numerelor reale, de

semnul, monotonia, extremele, convexitatea sau concavitatea anumitor

funcţii, pun la grea încercare elevii la toate examenele şi concursurile şcolare.

Cele mai "exploatate" inegalităţi din matematica de liceu sunt următoarele:

EXERCITIUL 4

Data publicarii: 12.05.2012

Suport teoretic:

Functii trigonometrice, identitati trigonometrice, semnul functiei de gradul al doilea.

Enunt:

Sa se afle parametrul natural α € [0;2π], astfel incat inegalitatea x² - 4xsinα + 1 > 0

sa fie adevarata pentru orice x real.

Raspuns:

α € {3;6}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXERCITIUL 4

Postat în INEGALITATI |Vezi comentarii (0)

TEORIE

Data publicarii: 22.11.2008

Inegalitati uzuale:

${a^2 + b^2} \geq{ 2ab},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}};$ {a^2 + b^2} \geq{ 2ab},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}};

(egalitate daca si numai daca a = b).

${a^2 + b^2 + c^2}\geq{ ab + bc + ca},\forall{a,b,c}\in{\mathbb{R}};$ {a^2 + b^2 + c^2}\geq{ ab + bc + ca},\forall{a,b,c}\in{\mathbb{R}};

(egalitate daca si numai daca a = b = c).

$|\frac{a}{b} + \frac{b}{a}|\geq2,\forall{a,b}\in{\mathbb{R}};$ |\frac{a}{b} + \frac{b}{a}|\geq2,\forall{a,b}\in{\mathbb{R}};

(egalitate daca si numai daca a = + b, sau a = - b).

$|{x_1}+{x_2}+\cdots+{x_n}|\leq{|{x}_{1}|}+{|{x}_{2}|}+...+{|{x}_{n}|},\forall{x_k}\in{\mathbb{R}},\forall{k}\in{{\mathbb{N}}^*};$ |{x_1}+{x_2}+\cdots+{x_n}|\leq{|{x}_{1}|}+{|{x}_{2}|}+...+{|{x}_{n}|},\forall{x_k}\in{\mathbb{R}},\forall{k}\in{{\mathbb{N}}^*};

(egalitate pentru n = 1, sau xi · xj € [0, + oo) pentru orice i, j € {1, 2, ..., n}).

${|a|}\leq{c}\Leftrightarrow -{c}\leq{a} \leq{c},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.$ {|a|}\leq{c}\Leftrightarrow -{c}\leq{a} \leq{c},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.
${|a|}\geq{c}\Leftrightarrow {a}\in{(-\infty,-c]\cup[c,+\infty)},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.$ {|a|}\geq{c}\Leftrightarrow {a}\in{(-\infty,-c]\cup[c,+\infty)},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.
${|acosx+bsinx|}\le{\sqrt{a^2+b^2}},\;\forall{a,b,x}\in{\mathbb{R}}.$ {|acosx+bsinx|}\le{\sqrt{a^2+b^2}},\;\forall{a,b,x}\in{\mathbb{R}}.
${2}^{n}>{n},\forall{n}\in{\mathbb{N}}.$ {2}^{n}>{n},\forall{n}\in{\mathbb{N}}.
${{\frac{2}{3}}\cdot{\frac{4}{5}}\cdot{\frac{6}{7}}\cdots{\frac{2n}{2n+1}}}<{\frac{1}{\sqrt{n+1}}},\;\forall{n}\in{\mathbb{N^*}}.$ {{\frac{2}{3}}\cdot{\frac{4}{5}}\cdot{\frac{6}{7}}\cdots{\frac{2n}{2n+1}}}<{\frac{1}{\sqrt{n+1}}},\;\forall{n}\in{\mathbb{N^*}}.
${{\frac{1}{2}}\cdot{\frac{3}{4}}\cdot{\frac{5}{6}}\cdots{\frac{2n-1}{2n}}}<{\frac{1}{\sqrt{2n+1}}},\;\forall{n}\in{\mathbb{N^*}}.$ {{\frac{1}{2}}\cdot{\frac{3}{4}}\cdot{\frac{5}{6}}\cdots{\frac{2n-1}{2n}}}<{\frac{1}{\sqrt{2n+1}}},\;\forall{n}\in{\mathbb{N^*}}.
${1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}>{ln(n+1)},\forall{n}\in{\mathbb{N^*}}.$ {1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}>{ln(n+1)},\forall{n}\in{\mathbb{N^*}}.
${e^x}\ge{x+1},\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}.$ {e^x}\ge{x+1},\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}.
${lnx}<{x}<{e^x},\;\forall{x}\ge{1}.$ {lnx}<{x}<{e^x},\;\forall{x}\ge{1}.
${log_ab+lob_ba}>{2};\;(a>1\;si\;b>1)\;sau\;({0}<{a}<{1},\;{0}<{b}<{1});\;a\not=b.$ {log_ab+lob_ba}>{2};\;(a>1\;si\;b>1)\;sau\;({0}<{a}<{1},\;{0}<{b}<{1});\;a\not=b.