Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Numeroasele similitudini, între proprietăţile operaţiilor cu numere

complexe, vectori, matrice, polinoame etc, au constituit punctul de plecare 

pentru construcţia unei teorii unitară, de nivel superior, care

abordează mulțimi de obiecte matematice, înzestrate cu proprietăţi 

comune, în raport cu operaţii prezentate în manieră abstractă.

Astfel s-a născut teoria structurilor algebrice și aceasta, plecând de la 

noțiunea de lege de compoziție (operație algebrică), sistematizează și 

simpifică enorm studiul multor mulțimi de obiecte matematice, ca

numerele complexe (naturale, întregiraționale, reale, complexe

nereale), vectori, transformări geometrice (simetrii, rotații etc), 

permutări, matrice, polinoame, funcții continue etc.

În cele ce urmează sunt prezentate cunoștințe esențiale despre

noțiunea de grup, cu ajutorul căreia se definesc celelalte structuri 

algebrice. 

TEORIE

Data publicarii: 12.01.2009

Definitie:

Perechea (M,*), unde M este o multime nevida, pe care s-a definit o lege de

compozitie *, asociativa si care este dotata cu element neutru, se numeste monoid.

Daca, in plus, legea este comutativa, atunci monoidul se numeste comutativ sau abelian.

Exemplu:

Multimea matricelor patratice, inzestrata cu operatia de inmultire este

monoid necomutativ.

Definitie:

Fie o multime nevida G, inzestrata cu o lege de compozitie interna

(peste tot definita), notata o .

Daca:

a) Legea o este asociativă:

(xoy)oz = xo(yoz), oricare ar fi x,y,zЄG,

b) Există element neutru:

exista eЄG, astfel incat xoe = eox = x, oricare ar fi xЄG,

c) Toate elementele din G sunt simetrizabile:

oricare ar fi xЄG, exista x'ЄG, astfel incat xox' = x'ox = e,

atunci:

CONTINUARE LA : TEORIE

EXERCITIUL 7

Data publicarii: 14.10.2014

Suport teoretic:

Legi de compozitie,structuri algebrice,grupuri abeliene.

Enunt:

Sa se afle numarul natural a, astfel incat legea de compozitie

\varphi:{\mathbb{Z}}\times{\mathbb{Z}}\rightarrow{\mathbb{Z}},\;\varphi(x,y)={x}\star{y}=ax+ay+a^2\varphi:{\mathbb{Z}}\times{\mathbb{Z}}\rightarrow{\mathbb{Z}},\;\varphi(x,y)={x}\star{y}=ax+ay+a^2

sa determine pe multimea numerelor intregi o structura algebrica de

grup abelian.

Raspuns:

a = 1.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 7

EXERCITIUL 6

Data publicarii: 14.10.2014

Suport teoretic:

Matrice patratice,inmultirea matricelor,grupuri abeliene.

Enunt: 

Sa se arate ca multimea matricelor de forma

\begin{pmatrix}x-3y&3y\\-3y&x+3y\end{pmatrix},\;unde (x,y)\in{{\mathbb{R^*}}\times{\mathbb{R}}},\begin{pmatrix}x-3y&3y\\-3y&x+3y\end{pmatrix},\;unde (x,y)\in{{\mathbb{R^*}}\times{\mathbb{R}}},

inzestrata cu operatia de inmultire a matricelor, formeaza un grup abelian.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 6

EXERCITIUL 5

Data publicarii: 14.10.2014

Suport teoretic:

Sisteme liniare,compatibil simplu nedeterminat,legi de compozitie,grupuri abeliene.

Enunt:

Fie sistemul:

\begin{cases}x+iy+z=0\\ix+y+iz=0\end{cases},\;unde\;i^2=-1.\begin{cases}x+iy+z=0\\ix+y+iz=0\end{cases},\;unde\;i^2=-1.

a) Sa se arate ca sistemul este compatibil simplu nedeterminat si sa se puna

solutiile sale sub forma:

S= {x(λ),y(λ),z(λ)|λЄC}.

b) Sa se demonstreze ca legea de compozitie \otimes,\otimes,

definita prin

{s_1}\otimes{s_2}={(x({\lambda}_1),y({\lambda}_1),z({\lambda}_1))}\otimes{(x({\lambda}_2),y({\lambda}_2),z({\lambda}_2))}={s_1}\otimes{s_2}={(x({\lambda}_1),y({\lambda}_1),z({\lambda}_1))}\otimes{(x({\lambda}_2),y({\lambda}_2),z({\lambda}_2))}=

=(x({\lambda}_1)+x({\lambda}_2),y({\lambda}_1)+y({\lambda}_2),z({\lambda}_1)+z({\lambda}_2)),=(x({\lambda}_1)+x({\lambda}_2),y({\lambda}_1)+y({\lambda}_2),z({\lambda}_1)+z({\lambda}_2)),

confera multimii S o structura de grup abelian.

Raspuns:

a) S = {(-λ,0,λ)|λЄC}.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 5

EXERCITIUL 4

Data publicarii: 19.01.2013

Suport teoretic:

Operatii matrici,grupuri,subgrupuri,grupuri ciclice,ordin grup.

Enunt:

Fie matricea 

A\in{M_2(C)},\;A=\begin{pmatrix}1&0\\2&i\end{pmatrix}.A\in{M_2(C)},\;A=\begin{pmatrix}1&0\\2&i\end{pmatrix}.

Sa se demonstreze ca multimea

M=\{A^n|n\in{\mathbb{N^*}}\}M=\{A^n|n\in{\mathbb{N^*}}\}

este finita si ca perechea (M,·), unde legea "·" reprezinta operatia de inmultire a

matricelor, formeaza un grup ciclic de ordinul 4.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 4

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan