Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»GRUPURI

Data publicarii: 12 Ianuarie, 2009

TEORIE

Definitie:

Perechea (M,*), unde M este o multime nevida, pe care s-a definit o lege de

compozitie *, asociativa si care este dotata cu element neutru, se numeste monoid.

Daca, in plus, legea este comutativa, atunci monoidul se numeste comutativ sau

abelian.

Exemplu: multimea matricelor patratice, inzestrata cu operatia de inmultire este

monoid necomutativ.

Definitie:

Fie o multime nevida G, inzestrata cu o lege de compozitie interna (peste tot definita),

notata o .

Daca:

a) Legea ° este asociativă:

(x ° y) ° z = x ° (y ° z), oricare ar fi x, y, z din G},

b) Există element neutru:

exista e in G, astfel incat x ° e = e ° x = x, oricare ar fi x in G,

c) Toate elementele din G sunt simetrizabile:

oricare ar fi x in G, exista x' in G, astfel incat x ° x' = x' ° x = e,

atunci spunem că perechea (G, °) formează o structură de grup.

Dacă, în plus, legea este comutativă, atunci cuplul (G, °) se numeşte

grup comutativ sau abelian.

Exemplu: multimea numerelor intregi, inzestrata cu operatia de adunare uzuala, este

grup abelian.

Definitie:

Fie (G, °) un grup si H o submultime nevida a multimii G.

Cuplul (H, °) se numeste subgrup al grupului (G, °), daca perechea (H,°) este grup.

Notatie: ${H}\leq{G}.$ {H}\leq{G}.

Exemplu: grupul radacinilor de ordinul n ale unitatii este subgrup al grupului numerelor

complexe nenule fata de operatia de inmultire uzuala.

Teoremă:

O submultime nevida H a unui grup (G, ·) este subgrup al grupului G daca si numai daca:

a) Oricare ar fi x, y in H, rezulta x · y in H si

b) Oricare ar fi x in H, rezulta x' in H.

Observatie:

Conditiile a) si b) pot fi reformulate unitar:

Oricare ar fi x, y din H, rezulta x · y' in H.

Ordinul unui element:

Fiind dat un grup (G,°), se spune ca elementul x din G are ordinul n (natural nenul),

daca n este cel mai mic numar natural cu proprietatea:

${x^n=e},$ {x^n=e}, unde e reprezinta elementul neutru al grupului G.

$Daca\;\forall{n\in{\mathbb{N}}^*}\Rightarrow{x^n}\neq{e},$ Daca\;\forall{n\in{\mathbb{N}}^*}\Rightarrow{x^n}\neq{e},

atunci se spune ca ordinul elementului x este 00.$

Subgrup generat de un element:

Fie (G, ·) un grup (multiplicativ) si x un element arbitrar din G.

Se verifica usor ca submultimea notata

${<}x{>}=\begin{Bmatrix}\cdots, x^{-2}, x^{-1}, x^0=e, x^1, x^2, \cdots\end{Bmatrix},$ {<}x{>}=\begin{Bmatrix}\cdots, x^{-2}, x^{-1}, x^0=e, x^1, x^2, \cdots\end{Bmatrix},

impreuna cu legea grupului G, formeaza un subgrup al grupului G, numit

subgrupul ciclic generat de elementul x. Deci:

${<}x{>}=\begin{Bmatrix}{x^k}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}.$ {<}x{>}=\begin{Bmatrix}{x^k}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}.

Observatie:

Un grup se numeste ciclic, daca este generat de un element al sau; acest element se

numeste generator al grupului.

Teorema:

Fie (G, ·) un grup (multiplicativ) si x un element de ordinul n din G.

Atunci multimea

${<}x{>}=\begin{Bmatrix}{e, x, x^2, x^3,\cdots, x^{n-1}}\end{Bmatrix}$ {<}x{>}=\begin{Bmatrix}{e, x, x^2, x^3,\cdots, x^{n-1}}\end{Bmatrix}

formeaza, impreuna cu legea grupului G, grup ciclic finit, de ordinul n: ord(< x >) = n.

(Exemplu: multimea radacinilor de ordinul 10 ale unitatii, impreuna cu operatia de

inmultire uzuala, formeaza un grup ciclic, de ordinul 10, fiind, in acelasi timp, subgrup

finit al grupului (C*,·)).

Teorema lui Lagrange:

Ordinul oricarui subgrup al unui grup finit este un divizor al ordinului grupului.

Corolar 1:

Intr-un grup finit, ordinul oricarui element este finit si este un divizor al ordinului

grupului.

Corolar 2:

Fie (G,·) un grup (multiplicativ) finit, de ordinul n. Atunci:

$x^n=e,\;\forall{x\in{G}}.$ x^n=e,\;\forall{x\in{G}}.

Corolar 3:

Orice grup de ordin un numar prim este ciclic.

Teorema lui Euler:

$Fie\;{n\in{\mathbb{N}}},{n}\geq{2},{a}\in{\mathbb{Z}},{(a,n)}=1.$ Fie\;{n\in{\mathbb{N}}},{n}\geq{2},{a}\in{\mathbb{Z}},{(a,n)}=1.

Atunci:

${a^{\varphi(n)}}\equiv{{1}{(mod\:n)}},$ {a^{\varphi(n)}}\equiv{{1}{(mod\:n)}},

unde φ este indicatorul lui Euler.

Observatie:

φ(n) = numarul de numere naturale mai mici decat n, prime cu n.

Exemplu:

φ(10) = Card{1, 3, 7, 9} = 4.

Teorema lui Fermat (mica teorema a lui Fermat):

Fie p > 0 un numar prim si a un numar intreg, nedivizibil cu p. Atunci:

${a^{p-1}}\equiv{{1}{(mod\:p)}}\Leftrightarrow{{a^{p}}\equiv{{a}{(mod\:p)}}}.$ {a^{p-1}}\equiv{{1}{(mod\:p)}}\Leftrightarrow{{a^{p}}\equiv{{a}{(mod\:p)}}}.

(vezi exemplu)

Morfisme si izomorfisme:

Grupurile (G, *) si (G',°)se numesc grupuri omomorfe, daca exista o functie

f:G - > G' cu proprietatea:

${f({x}\ast{y})} = {f(x)}\circ{f(y)}, \forall{x,y}\in{G};$ {f({x}\ast{y})} = {f(x)}\circ{f(y)}, \forall{x,y}\in{G};

functia f se numeste, in acest caz, morfism de grupuri.

Grupurile (G,*) si (G',°) se numesc grupuri izomorfe, daca exista un morfism bijectiv

f:G - > G'; functia f se numeste, in acest caz izomorfism de grupuri.

Postat în GRUPURI

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

se poate mai buni

ela, 18.06.2010 22:53

imi place site-ul si imi e de mare ajutor dar ...am observat ca lipsesc destul de multe capitole elementare...am cateva sugestii poate ca aici ar trebui integrate si notiunile de monoid ...clase de resturi...grupul klein

Răspuns: Multumesc pentru observatii! Partial sunt intemeiate si voi tine cont de ele! Clasele de resturi sunt, insa, prezente! (click pe "Cauta in website" !)

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

TEORIE

Răspunsuri şi comentarii

se poate mai buni

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului