Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 15 Decembrie, 2009

TEORIE

Definitii si proprietati:

Fiind date două mulţimi nevide A şi B şi o lege (formulă, regulă) de corespondenţă

între elementele celor doua mulţimi, notată, de exemplu, cu f, care asociază fiecărui

element xЄA un element unic yЄB, tripletul (A,B,f) se numeşte

funcţie (aplicaţie) definită pe A, cu valori în B.

Notatie uzuala:

f:A - > B <=> oricare ar fi xЄA, exista yЄB, y unic,

astfel incat y = f(x).

Multimile A si B se numesc domeniul, respectiv codomeniul functiei f, iar elementele

x si y preimaginea lui y, prin functia f, respectiv imaginea lui x prin functia f.

  • Daca A si B sunt multimi de numere reale, atunci f se numeste functie numerica.
  • Functiile f:A - > B si  g:A' - > B' sunt egale daca A = A', B = B' si f(x) = g(x), oricare ar fi xЄA.
  • Daca  f:A - > B si \bar{f}:{A\bar{f}:{A'}\rightarrow{B},

unde A' este inclusa in, sunt doua functii cu proprietatea

f(x)={\bar{f}}(x),\forall{x}\in{Af(x)={\bar{f}}(x),\forall{x}\in{A'}, atunci \bar{f}\bar{f}  

se numeste restrictia functiei f la multimea A', iar f se numeste

prelungirea functiei \bar{f}\bar{f} la multimea A.

  • Fiind data functia  f:A - > B, se numeste imaginea functiei f (multimea valorilor functiei f) multimea Imf = {yЄB|exista xЄA, astfel incat y = f(x)}.

  • Functia  f:A - > B se numeste surjectie (functie surjectiva) daca Imf = B.
  • Functia  f:A - > B se numeste injectie (functie injectiva) daca pentru orice zЄB, ecuatia f(x) = y, cu xЄA, are cel mult o solutie.
  • Functia  f:A - > B se numeste bijectie (functie bijectiva) daca pentru orice zЄB, ecuatia f(x) = y, cu xЄA, are solutie unica.

Observatie:

Graficele a doua functii inverse una celeilalte sunt simetrice fata de bisectoarea intai.

  • Daca se dau functiile  f:A - > B si  g:B' - > C,

unde B este inclusa in B', atunci functia 

h:A - > C, h(x) = g(f(x)) se numeste

compunerea functiilor g cu f (in aceasta ordine).

Notatie uzuala: h = g0f, unde (g0f)(x) = g(f(x)) = h(x).

  • O functie  f:A - > B este inversabila daca 

\exists {f^{-1}}:B\rightarrow{A},\exists {f^{-1}}:B\rightarrow{A}, astfel incat {f}\circ{f^{-1}}=1_B{f}\circ{f^{-1}}=1_B  

si {f^{-1}}\circ{f}=1_A,{f^{-1}}\circ{f}=1_A, unde 1A : si 1B sunt

aplicatiile identice ale multimilor A, respectiv B

(aplicatia 1A:M - > M, 1M(x) = x, oricare ar fi xЄM, se numeste

aplicatia identica a multimii M).

  • Numim graficul unei functii  f:A - > B multimea 

Gf = {(x,y)|xЄA,y = f(x)}.

  • Multimea punctelor din planul raportat la un sistem de axe rectangulare (xOy), ale caror coordonate sunt date de graficul functiei numerice  f:A - > Bconstituie

reprezentarea geometrica a graficului functiei f 

(in limbaj simplificat graficul functiei f, daca nu exista pericol de confuzii).

  • O functie numerica  f:A - > B este marginita

daca exista α,βЄR, astfel incat f(x)Є[α,β], oricare ar fi xЄA.

  • O functie  f:A - > B se numeste functie liniara daca indeplineste conditiile:

1) f(x+y) = f(x) + f(y), oricare ar fi x,yЄR (f este aditiva) si

2) f(λx) = λf(x), oricare ar fi λ,xЄR (f este omogena).

Functii cu punct fix:

Fie o multime A inclusa in R si functia  f:A - > B.

Spunem ca x0ЄA este punct fix pentru functia f, daca f(x0) = x0.

Observatie:

O functie f poate sa nu aiba puncte fixe, poate avea unul sau mai multe puncte fixe,

sau chiar o infinitate; orice functie f:A - > A, unde A este inclusa in R, are cel putin

un punct fix, ceea ce inseamna ca reprezentarea geometrica a graficului functiei f intersecteaza

prima bisectoare.

  • Un punct x0ЄA se numeste punct de minim al functiei f:A - > B, daca exista ο vecinatate a lui x0 de forma (x0-ε,x0+ε), ε > o, astfel incat 

f(x)\geq{f(x_{\circ})},\forall{x}\in{({x_{\circ}}-\varepsilon,x_{\circ}+\varepsilon)}.f(x)\geq{f(x_{\circ})},\forall{x}\in{({x_{\circ}}-\varepsilon,x_{\circ}+\varepsilon)}.

       Numarul f(x0) se numeste minim local (relativ) al functiei f,  iar cel mai mic minim

se numeste minimul global (absolut) al functiei f.

  • Un punct x0ЄA se numeste punct de maxim al functiei f:A - > B, daca exista ο vecinatate a lui x0 de forma (x0-ε,x0+ε), ε > o, astfel incat

f(x)\leq{f(x_{\circ})},\forall{x}\in{({x_{\circ}}-\varepsilon,x_{\circ}+\varepsilon)}.f(x)\leq{f(x_{\circ})},\forall{x}\in{({x_{\circ}}-\varepsilon,x_{\circ}+\varepsilon)}.  

        Numarul f(x0) se numeste maxim local (relativ) al functiei f, iar cel mai mare maxim

se numeste maximul global (absolut) al functiei f. 

Observatie:

Punctele de maxim/minim se numesc puncte de extrem, iar valorile functiei in punctele

de extrem se numesc extremele functiei.

  • O functie numerica f:D - > R, este strict crescatoare pe D, daca pentru orice x1,x2ЄD, x1 < x2 rezulta f(x1) < f(x2si crescatoare pe D daca {f(x_1)}\leq{f(x_2)}.{f(x_1)}\leq{f(x_2)}.

Observatie:

  • Daca functia f:I - > R, unde I este interval, este derivabila pe I si f'(x) > 0, pentru

orice xЄI, atunci f este strict crescatoare pe I.

functie numerica f:D - > R este strict descrescatoare pe D, daca pentru

orice x1,x2ЄD, x1 < x2 rezulta f(x1) > f(x2si descrescatoare pe D, daca

{f(x_1)}\geq{f(x_2)}.{f(x_1)}\geq{f(x_2)}.

Observatie:

  • Daca functia f:I - > R, unde I este interval, este derivabila pe I si f'(x) < 0, pentru orice xЄI, atunci f este strict descrescatoare pe I.

O functie f:(-a,a) - > R este functie para, daca f(-x) = f(x), pentru orice xЄ(-a,a) si

functie impara, daca f(-x) = -f(x), pentru orice xЄ(-a,a), unde a > 0. 

Observatie:

Graficul unei functii pare prezinta simetrie fata de axa ordonatelor, iar graficul unei

functii impare prezinta simetrie fata origine.

  • Dreapta de ecuatie x = a este axa de simetrie a graficului functiei f:R - > R, daca f(a-ε) = f(a+ε), oricare ar fi εЄR.
  • Punctul S(a,b) este centru de simetrie al graficului functiei

f:R - > R, daca b = (f(a+ε)+f(a-ε))/2, oricare ar fi εЄR.

  • O functie numerica f:A - > R se numeste functie periodica,

daca exista T > 0, astfel incat pentru orice x din A rezulta

(x+T)ЄA si f(x+T) = f(x); numarul T se numeste perioada a functiei f.

  • Daca exista Tp minim, cu proprietatea respectiva, atunci Tp se numeste perioada principala a functiei f.

Functie convexa:

O functie f:I - > R, unde I este interval, se numeste functie convexa pe intervalul I,

daca pentru orice x1,x2ЄI si oricare ar fi tЄ[0;1], are loc inegalitatea:

f((1-t){x_1}+t{x_2})\leq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.f((1-t){x_1}+t{x_2})\leq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.  

Observatie:

Daca functia f:I - > R, unde I este interval, este derivabila de doua ori pe I si

$latex {f^{''}}(x)\geq{0},\forall{x}\in{I},$ 

atunci functia f este convexa pe intervalul I.

Functie concava:

  • O functie f:I - > R, unde I este interval, se numeste

functie concava pe intervalul I daca pentru orice x1,x2ЄI si oricare

ar fi tЄ[0;1], are loc inegalitatea:

f((1-t){x_1}+t{x_2})\geq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.f((1-t){x_1}+t{x_2})\geq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.

Observatie:

Daca functia f:I - > R, unde I este interval, este derivabila de doua ori pe I si 

{f^{{f^{''}}(x)\leq{0},\forall{x}\in{I},

atunci functia f este concava pe intervalul I.

Functii cu proprietatea lui Darboux:

Fie I un interval si f:I - > R o functie. Se spune ca

functia f are proprietatea lui Darboux pe intervalul I,

daca pentru orice a,bЄI, a < b, si orice λ situat intre f(a) si f(b), exista un punct 

xλЄ(a,b), astfel incat f(xλ) = λ. 

Teorema 1:

O functie este inversabila, daca si numai daca este bijectiva.

Important:

Daca f:A - > B este inversabila si

{f^{-1}}:{B}\rightarrow{A}{f^{-1}}:{B}\rightarrow{A}

este inversa sa, atunci:

{y=f(x)}\Leftrightarrow{x={f^{-1}}(y),x\in{A},y\in{B}}.{y=f(x)}\Leftrightarrow{x={f^{-1}}(y),x\in{A},y\in{B}}.

Teorema 2:

Fie A si B doua multimi nevide si finite, astfel incat Card(A) = m si Card(B) = n.

Atunci numarul functiilor f:A - > B este egal cu:

n^m={[Card(B)]}^{Card(A)}.n^m={[Card(B)]}^{Card(A)}.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Lucinda

BEiyMsdrFmvGbO, 01.01.2012 10:15

Superbly illuminaitng data here, thanks!

Răspuns: 0

Bunny

VPHUBbByBmUYx, 23.10.2011 19:03

Clear, informative, spimle. Could I send you some e-hugs?

Răspuns: Thanks! Of course! :)

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan