Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Definitii si proprietati:

Fiind date două mulţimi nevide A şi B şi o lege (formulă, regulă) de corespondenţă

între elementele celor doua mulţimi, notată, de exemplu, cu f, care asociază fiecărui

element x din A un element unic y din B, tripletul (A,B,f) se numeşte funcţie

(aplicaţie) definită pe A, cu valori în B. Notatie uzuala:

f:A - > B <=> oricare ar fi x din A, exista y in B, y unic, astfel incat y = f(x).

• Multimile A si B se numesc domeniul, respectiv codomeniul functiei f,

iar elementele x si y preimaginea lui y, prin functia f, respectiv imaginea lui x prin 

functia f.

• Daca A si B sunt multimi de numere reale, atunci f se numeste functie numerica.
• Functiile f:A - > B si  g:A' - > B' sunt egale daca 

A = A', B = B' si f(x) = g(x), oricare ar fi x din A.

• Daca  f:A - > B si \bar{f}:{A'}\rightarrow{B},

unde A' este inclusa in, sunt doua functii cu proprietatea

f(x)={\bar{f}}(x),\forall{x}\in{A'}, atunci \bar{f}  se numeste  

restrictia functiei f la multimea A', iar f se numeste prelungirea functiei \bar{f}

la multimea A.

• Fiind data functia  f:A - > B, se numeste imaginea functiei f (multimea valorilor  

functiei f) multimea Imf = {y € B|exista x in A, astfel incat y = f(x)}.

• Functia  f:A - > B se numeste surjectie (functie surjectiva) daca Imf = B.
• Functia  f:A - > B se numeste injectie (functie injectiva) daca pentru orice z din

B, ecuatia f(x) = y, cu x din A, are cel mult o solutie.

• Functia  f:A - > B se numeste bijectie (functie bijectiva) daca pentru orice z din

B, ecuatia f(x) = y, cu x din A, are solutie unica.

Observatie:

Graficele a doua functii inverse una celeilalte sunt simetrice fata de bisectoarea intai.

• Daca se dau functiile  f:A - > B si  g:B - > C, atunci functia  

h:A - > C, h(x) = g(f(x)) se numeste compunerea functiilor g cu f (in aceasta ordine).

Notatie uzuala: h = g 0 f, unde (g 0 f)(x) = g(f(x)) = h(x).

• O functie  f:A - > B este inversabila daca 

\exists {f^{-1}}:B\rightarrow{A}, astfel incat {f}\circ{f^{-1}}=1_B  

si {f^{-1}}\circ{f}=1_A, unde 1A : si 1B sunt aplicatiile identice ale multimilor

A, respectiv B (aplicatia 1A:M - > M, 1M(x) = x, oricare ar fi x din M, se numeste

aplicatia identica a multimii M).

• Numim graficul unei functii  f:A - > B multimea Gf = {(x,y)|x € A, y = f(x)}.
• Multimea punctelor din planul raportat la un sistem de axe rectangulare (xOy),  

ale caror coordonate sunt date de graficul functiei numerice  f:A - > B, constituie

reprezentarea geometrica a graficului functiei f (in limbaj simplificat graficul functiei f,

daca nu exista pericol de confuzii).

• O functie numerica  f:A - > B este marginita daca exista numerele reale α, β,

astfel incat f(x) € [α,β], oricare ar fi x din A.

• O functie  f:A - > B se numeste functie liniara daca indeplineste conditiile:

1) f(x + y) = f(x) + f(y), oricare ar fi x,y din R ( f este aditiva)

si

2) f(λx) = λf(x), oricare ar fi λ, x din R (f este omogena).

Functii cu punct fix:

Fie o multime A inclusa in R si functia  f:A - > B.

Spunem ca x0 din A este punct fix pentru functia f, daca f(x0) = x0.

Observatie:

O functie f poate sa nu aiba puncte fixe, poate avea unul sau mai multe puncte fixe,

sau chiar o infinitate; orice functie f:A - > A, unde A este inclusa in R, are cel putin

un punct fix, ceea ce inseamna ca reprezentarea geometrica a graficului functiei f

intersecteaza prima bisectoare.

• Un punct x0 din A se numeste punct de minim al functiei f:A - > B, 

daca exista ο vecinatate a lui x0 de forma (x0 - ε, x0 + ε), ε > o, astfel incat 

f(x)\geq{f(x_{\circ})},\forall{x}\in{({x_{\circ}}-\varepsilon,x_{\circ}+\varepsilon)}.

       Numarul f(x0) se numeste minim local (relativ) al functiei f; cel mai mic minim se

numeste minimul global (absolut) al functiei f.

• Un punct x0 din A se numeste punct de maxim al functiei f:A - > B, daca

exista ο vecinatate a lui x0 de forma (x0 - ε, x0 + ε), ε > o, astfel incat

f(x)\leq{f(x_{\circ})},\forall{x}\in{({x_{\circ}}-\varepsilon,x_{\circ}+\varepsilon)}.  

        Numarul f(x0) se numeste maxim local (relativ) al functiei f; cel mai mare maxim

se numeste maximul global (absolut) al functiei f. 

Observatie:

Punctele de maxim / minim se numesc puncte de extrem, iar valorile functiei in

punctele de extrem se numesc extremele functiei.

• O functie numerica f:D - > R, este strict crescatoare pe D, daca 

pentru orice x1, x2 din D, x1 < x2 rezulta f(x1) < f(x2) si crescatoare pe D daca 

{f(x_1)}\leq{f(x_2)}.

Observatie:

Daca functia f:I - > R, unde I este interval, este derivabila pe I si f'(x) > 0, pentru

orice x din I, atunci f este strict crescatoare pe I.

• O functie numerica f:D - > R este strict descrescatoare pe D, daca pentru orice

pentru orice x1, x2 din D, x1 < x2 rezulta f(x1) > f(x2) si descrescatoare pe D, daca

{f(x_1)}\geq{f(x_2)}.

Observatie:

Daca functia f:I - > R, unde I este interval, este derivabila

pe I si f '(x) < 0, pentru orice x din I, atunci f este strict descrescatoare pe I.

• O functie f:(- a,a) - > R este functie para, daca 

f(- x) = f(x), pentru orice x din (- a,a) si functie impara, daca f(- x) = - f(x), pentru

orice x din (- a,a), unde a > 0. 

Observatie:

Graficul unei functii pare prezinta simetrie fata de axa ordonatelor, iar graficul unei

functii impare prezinta simetrie fata origine.

• Dreapta de ecuatie x = a este axa de simetrie a graficului functiei

f:R - > R, daca f(a - ε) = f(a + ε), oricare ar fi ε € R.

• Punctul S(a,b) este centru de simetrie al graficului functiei

f:R - > R, daca b = (f(a + ε) + f(a - ε)) / 2, oricare ar fi ε € R.

• O functie numerica f:A - > R se numeste functie periodica, daca exista

T > 0, astfel incat pentru orice x din A rezulta (x + T) este in A si f(x + T) = f(x);

numarul T se numeste perioada a functiei f.

• Daca exista Tp minim, cu proprietatea respectiva, atunci Tp se numeste perioada

principala a functiei f.

Functie convexa:

O functie f:I - > R, unde I este interval, se numeste functie convexa pe intervalul I,

daca pentru orice x1, x2 din I si oricare ar fi t din [0;1], are loc inegalitatea:

f((1-t){x_1}+t{x_2})\leq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.  

Observatie:

Daca functia f:I - > R, unde I este interval, este derivabila de doua ori pe I si

{f^{''}}(x)\geq{0},\forall{x}\in{I},  

atunci functia f este convexa pe intervalul I.

Functie concava:

• O functie f:I - > R, unde I este interval, se numeste functie concava pe intervalul

I daca pentru orice x1, x2 din I si oricare ar fi t din [0;1], are loc inegalitatea:

f((1-t){x_1}+t{x_2})\geq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.

Observatie:

Daca functia f:I - > R, unde I este interval, este derivabila de doua ori pe I si 

{f^{''}}(x)\leq{0},\forall{x}\in{I},

atunci functia f este concava pe intervalul I.

Functii cu proprietatea lui Darboux:

Fie I un interval si f:I - > R o functie. Se spune ca functia f

are proprietatea lui Darboux pe intervalul I, daca pentru orice a, b din I, a < b, si orice

λ situat intre f(a) si f(b), exista un punct xλ in intervalul (a,b), astfel incat f(xλ) = λ. 

Teorema 1:

O functie este inversabila, daca si numai daca este bijectiva.

Important:

Daca f:A - > B este inversabila si

{f^{-1}}:{B}\rightarrow{A}

este inversa sa, atunci:

{y=f(x)}\Leftrightarrow{x={f^{-1}}(y),x\in{A},y\in{B}}.

Teorema 2:

Fie A si B doua multimi nevide si finite, astfel incat Card(A) = m si Card(B) = n.

Atunci numarul functiilor f:A - > B este egal cu:

n^m={[Card(B)]}^{Card(A)}.