Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 13 Martie, 2009

TEORIE

Functia modul (valoare absoluta):

f:R - > [0,+oo),

f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\x,x\in{[0,+\infty)}\end{cases}f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\x,x\in{[0,+\infty)}\end{cases}

sau 

f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0]}\\x,x\in{(0,+\infty)}\end{cases}f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0]}\\x,x\in{(0,+\infty)}\end{cases}

sau 

f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\{0},{x=0}\\{x},{x}\in{(0,+\infty)}\end{cases}.f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\{0},{x=0}\\{x},{x}\in{(0,+\infty)}\end{cases}.

Proprietati:

  • |x| > 0 sau |x| = 0, oricare ar fi xЄR;
  • |x| = 0 <=> x = 0;
  • |x|² = 0, oricare ar fi xЄR;
  • |x·y| = |x|·|y|, oricare ar fi x si y reali => |-x| = |x|, oricare ar fi xЄR;
  • |x/y| = |x|/|y|, oricare ar fi x,yЄR, y nenul;
  • {|x|-|y|}\le{|{x}\pm{y}|}\le{|x|+|y|},\;\forall{x,y}\in{\mathbb{R}};{|x|-|y|}\le{|{x}\pm{y}|}\le{|x|+|y|},\;\forall{x,y}\in{\mathbb{R}};
  • |x| = a <=> x = a sau x = -a, unde a > 0;
  • |x| = |y| <=> x = y sau x = -y;
  • |x| < c < = > xЄ(-c,c), oricare ar fi c > 0;
  • |x| > c < = > xЄ(-oo,-c)U(c,+oo), oricare ar fi c > 0.

Functia parte intreaga:

f:R - > Z, f(x) = [x],

unde prin [x] înţelegem cel mai mare număr întreg n, care este mai mic sau egal cu x,

adică [x] = n, dacă 

n\leq{x}<{n+1},n\in{\mathbb{Z}}.n\leq{x}<{n+1},n\in{\mathbb{Z}}.

Observatii:

1) Din definitie rezulta imediat dubla inegalitate remarcabila:

[x]\leq{x}<{[x]+1},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.[x]\leq{x}<{[x]+1},\forall{x}\in{\mathbb{R}}. \Rightarrow\Rightarrow {x-1}<{[x]}\leq{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.{x-1}<{[x]}\leq{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.

2) Functia se expliciteaza astfel:

f(x) = [x] = \begin{cases}\cdots\\-k,x\in{[-k,-k+1)}\\\cdots\\-3,x\in{[-3,-2)}\\-2,x\in{[-2,-1)}\\-1,x\in{[-1,0)}\\{0},x\in{[0,1)}\\1,x\in{[1,2)}\\2,x\in{[2,3)}\\3,x\in{[3,4)}\\\cdots\\k,x\in{[k,k+1)}\\\cdots\end{cases},k\in{\mathbb{N}}.\begin{cases}\cdots\\-k,x\in{[-k,-k+1)}\\\cdots\\-3,x\in{[-3,-2)}\\-2,x\in{[-2,-1)}\\-1,x\in{[-1,0)}\\{0},x\in{[0,1)}\\1,x\in{[1,2)}\\2,x\in{[2,3)}\\3,x\in{[3,4)}\\\cdots\\k,x\in{[k,k+1)}\\\cdots\end{cases},k\in{\mathbb{N}}.

3) [x] + [x + (1/n)] + [x + (2/n)] + ... + [x + (n-1)/n] = [nx]; n
ЄN*.

(identitatea lui Hermite).

Proprietati:

Pentru orice x,yЄR si orice kЄZ avem:

  • x = [x] < = > xЄZ;
  • (x < y sau x = y) = > ([x] < [y] sau [x] = [y]);
  • ([x+y] > [x] + [y]) sau ([x+y] = [x] + [y]);
  • [x+k] = [x] + k.

Functia parte fractionara (zecimala):

f:R - > [0;1), f(x) = {x}, unde, prin definitie, {x} = x - [x].

Explicitarea acestei functii este:

f(x)=\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}=\begin{cases}\cdots\\x+k,x\in[-k,-k+1)\\\cdots\\x+2,x\in{[-2,-1)}\\x+1,x\in{[-1,0)}\\x,x\in{[0,1)}\\x-1,x\in{[1,2)}\\x-2,x\in{[2,3)}\\\cdots\\x-k,x\in{[k,k+1)}\\\cdots\end{cases},k\in{\mathbb{N}}.f(x)=\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}=\begin{cases}\cdots\\x+k,x\in[-k,-k+1)\\\cdots\\x+2,x\in{[-2,-1)}\\x+1,x\in{[-1,0)}\\x,x\in{[0,1)}\\x-1,x\in{[1,2)}\\x-2,x\in{[2,3)}\\\cdots\\x-k,x\in{[k,k+1)}\\\cdots\end{cases},k\in{\mathbb{N}}.

Proprietati:

  • {x} = 0 < = > xЄZ;
  • {x+k} = {x}. 

Functia semn (signum, signatura):

f:R - > {-1;0;1},

f(x)=sgn(x)=\begin{cases}-1,x\in{(-\infty,0)}\\{0},x=0\\1,x\in{(0,+\infty)}\end{cases}.f(x)=sgn(x)=\begin{cases}-1,x\in{(-\infty,0)}\\{0},x=0\\1,x\in{(0,+\infty)}\end{cases}.

Observatie:

Din definitie rezulta ca pentru orice xЄR*: sgn(x) = x/|x|.

Functia lui Dirichlet:

f:R - > {0;1},

f(x)=\begin{cases}1,x\in{\mathbb{Q}}\\{0},x\in{\mathbb{R}\setminus{\mathbb{Q}}}\end{cases}.f(x)=\begin{cases}1,x\in{\mathbb{Q}}\\{0},x\in{\mathbb{R}\setminus{\mathbb{Q}}}\end{cases}.

Functia caracteristica a unei multimi:

Fie o multime M de numere reale; numim

functia caracteristica a multimii M

(notata de obicei fM), functia fM:R - > {0;1},  

f_M(x)=\begin{cases}1,x\in{M}\\{0},x\in{\mathbb{R}}\setminus{M}\end{cases}.f_M(x)=\begin{cases}1,x\in{M}\\{0},x\in{\mathbb{R}}\setminus{M}\end{cases}.

Observatie:

In cazul particular M = (0,+oo), aceasta functie poarta numele de

functia lui Heaviside, anume: H:R - > {0;1},

H(x)=\begin{cases}1,x\in{(0;+\infty)}\\{0},x\in{(-\infty,0]}\end{cases}.H(x)=\begin{cases}1,x\in{(0;+\infty)}\\{0},x\in{(-\infty,0]}\end{cases}.

Proprietati ale functiei caracteristice a multimii A:  

fM:M - > {0;1},

{f_A}(x)=\begin{cases}1,x\in{A}\\{0},\;x\in{{M}\setminus{A}}\end{cases},{f_A}(x)=\begin{cases}1,x\in{A}\\{0},\;x\in{{M}\setminus{A}}\end{cases},

unde M este o multime oarecare si A o parte a sa:

  • 1) fΦ(x) = 0, oricare ar fi xЄM;
  • 2) fM(x) = 1, oricare ar fi xЄM;
  • 3) f²M(x) = fM(x), oricare ar fi xЄM;
  • 4) fAπΒ(x) = fA(x)·fB(x), oricare ar fi xЄM;
  • 5) fÂ(x) = 1 - fA(x), oricare ar fi xЄM,

unde Â reprezinta complementara multimii A fata de multimea M;

  • 6) fAUB (x) = fA(x) + fB(x) - fA(x)·fB(x), oricare ar fi xЄM;
  • 7) (A inclus in B)< = >(fA(x) < sau = fB(x)), oricare ar fi xЄM;
  • 8) (A = B) < = > (fA(x) = fB(x)), oricare ar fi xЄM;
  • 9) fΑΔΒ(x) = fΑ(x) + fΒ(x) - 2fΑ(x)·fB(x), oricare ar fi xЄM,

       unde AΔΒ = (AUB)}\(AΠB) reprezinta diferenta simetrica a multimilor A si B;  

  • 10) fΑΔΒ(x) = |fΑ(x) - fΒ(x)|, oricare ar fi xЄM.

Functia sinus hiperbolic (notata sh):

sh:R - > R,

sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2},sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2},

  • strict crescatoare,
  • impara,
  • bijectiva,
  • f(R) = R.

Functia cosinus hiperbolic (notata ch):

ch:R - > R,

ch(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2},ch(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2},

  • functie para,
  • strict descrescatoare pe (-oo,0] si
  • strict crescatoare pe [0,+oo), 
  • minimul = f(0) = 1.

Observatie:

ch²(x) - sh²(x) = 1, oricare ar fi xЄR

Functia tangenta hiperbolica (notata th):

th:R - > R, 

th(x) = sh(x)/ch(x),

  • functie impara,
  • strict crescatoare,
  • marginita: -1 < thx < + 1, oricare ar fi xЄR

Functia cotangenta hiperbolica (notata cth):

cth:R* - > R, cth(x) = 1/th(x),

  • functie impara,
  • strict descrescatoare  pe (-oo,0) si, separat, pe (0,+oo),
  • f(R*) = (-oo,-1)U(1,+oo).

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Functii

Doly, 23.03.2015 17:29

M? pute?i ajuta, va rog? Cum se calculeaz? f^-1?

Răspuns: Daca functia f: A - > B este inversabila, atunci inversa se identifica, in general, din ecuatia y = f(x), calculand x in functie de y; deci se cauta o relatie de tipul x = g(y), unde g este inversa cautata. Prin urmare, g (sau f^-1):B - > A, asfel incat x=g(y).

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan