Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML
În cele ce urmează va fi prezentată în mod succint teoria privind
inversabilitatea funcţiilor, precum şi toate funcţiile elementare
(sau restricţiile lor), care sunt bijective, alături de inversele acestora,
iar în final câteva tipuri de exerciţii aplicative.
TEORIE
Data publicarii: 13.12.2010Definitie:
O functie f:A - > B este inversabila, daca exista o functie
g:B - > A, astfel incat fog = 1B si gof = 1A,
unde 1M:M - >M, 1M(x) = x, oricare ar fi xЄM,
se numeste aplicatia identica a multimii M.
In cazul particular A = B, are loc egalitatea: fog = gof = 1A.
Observatii:
- In mod obisnuit, inversa functiei f, cand exista, se noteaza
f^{-1};
- În cazul cand exista, se arata ca functia g (inversa functiei f) este unica;
- In aceste conditii, are loc echivalenta
y = f(x) <=> x = g(y),
unde x parcurge domeniul de definitie A al functiei f, iar y, imaginea lui x prin functia f, parcurge domeniul de definitie B al functiei g (codomeniul functiei f);
- Graficele unei functii si al inversei acesteia (cand exista!) sunt simetrice fata de prima bisectoare.
FUNCTII ELEMENTARE INVERSABILE
Data publicarii: 18.12.2010- Functia de gradul intai, inversabila pe R:
Definitii:
f:R - > R, f(x) = y = ax + b,
unde a, b sunt numere reale, a nenul.
Inversa (tot functie de gradul intai):
f^{-1}:R\rightarrow{R}, f^{-1}(y)=x=\frac{y-b}{a}.
- Functia de gradul al doilea, inversabila, separat, pe intervalele:
I1 = (-oo,-b/2a] si I2 = [-b/2a,+oo):
Definitii:
1) f:(-oo,-b/2a] - > (-oo,-Δ/4a],
f(x) = y = ax² + bx + c,
unde a < 0, b,c ЄR.
Inversa (functie irationala):
EXERCITIUL 18
Data publicarii: 25.07.2016Suport teoretic:
Functii trigonometrice,functii bijective,functii inversabile,inversa unei functii bijective,
compunerea functiilor .
Enunt:
Se da functia g:[2π/3;3π/4] - > [1/4;9/16], unde g(x) = sin⁴x .
1) Sa se demonstreze ca functia g este inversabila;
2) Sa se determine inversa g^{-1} a functiei g .
3) Sa se arate, pe baza definitiei, ca functiile
g si g^{-1} sunt inverse una celeilalte.
EXERCITIUL 17
Data publicarii: 28.06.2016Suport teoretic:
Functii injective,surjective,bijective,inversabile,derivabile,functii trigonometrice.
Enunt:
Sa se demonstreze ca functia f:(0;π/2] - > (1;2/π], f(x) = (sinx)/x este inversabila.
EXERCITIUL 16
Data publicarii: 06.11.2014Suport teoretic:
Functii polinomiale,functii injective,surjective,bijective,functii inversabile,functii derivabile,derivata functiei inverse,ecuatii algebrice,ecuatia tangentei.
Enunt:
Se da functia f:R - > R,
f(x)=6x^5+20x^3+15x^2+30x+6.
1) Sa se arate ca functia f este inversabila.
2) Sa se arate ca intersectia graficelor functiei f si a inversei sale nu este vida.
3) Sa se scrie ecuatia tangentei la reprezentarea geometrica a graficului functiei inverse
in punctul de abscisa 6.
Raspuns:
3) x - 30y - 6 = 0.
CATEGORII :
- 1. CUM ABORDAM O PROBLEMA? (0)
- 2. BREVIAR TEORETIC-gimnaziu
- 3. ALGORITMI IN MATEMATICA DE GIMNAZIU
-
4. BREVIAR TEORETIC-liceu
- 4.1. MULTIMI NUMERICE-liceu (20)
- 4.2. NUMERE REALE-liceu (8)
- 4.3. NUMERE COMPLEXE-liceu (12)
- 4.4. IDENTITATI ALGEBRICE REMARCABILE-liceu (10)
- 4.5. INEGALITATI-liceu (17)
- 4.6. INECUATII-liceu (20)
- 4.7. ECUATII DIOFANTICE-liceu (5)
- 4.8. ECUATII ALGEBRICE-liceu (27)
- 4.9. ECUATII TRANSCENDENTE-liceu (26)
- 4.10. PROGRESII-liceu (17)
- 4.11. COMBINATORICA-liceu (10)
- 4.12. BINOMUL LUI NEWTON-liceu (6)
- 4.13. LOGARITMI-liceu (21)
- 4.14. PROBABILITATI-liceu (21)
- 4.15. PERMUTARI (SUBSTITUTII)-liceu (7)
- 4.16. SUME-liceu (14)
- 4.17. DETERMINANTI-liceu (14)
- 4.18. MATRICE-liceu (22)
- 4.19. SISTEME DE ECUATII LINIARE-liceu (12)
- 4.20. SISTEME DE ECUATII NELINIARE-liceu (12)
- 4.21. LEGI DE COMPOZITIE-liceu (8)
- 4.22. CLASE DE RESTURI MODULO n - liceu (9)
- 4.23. GRUPURI-liceu (8)
- 4.24. INELE SI CORPURI-liceu (5)
- 4.25. POLINOAME CU COEFICIENTI INTR-UN INEL COMUTATIV. (2)
- 4.26. POLINOAME CU COEFICIENTI REALI-liceu (14)
- 4.27. POLINOAME CU COEFICIENTI COMPLECSI-liceu (7)
- 4.28. RELATII-liceu (1)
- 4.29. RELATIA DE DIVIZIBILITATE IN INELUL INTREGILOR-liceu (13)
- 4.30. RELATIA DE DIVIZIBILITATE IN INELUL POLINOAMELOR-liceu (9)
- 4.31. FUNCTII (generalitati)-liceu (38)
- 4.32. FUNCTII INVERSABILE-liceu (20)
- 4.33. FUNCTII ELEMENTARE-liceu (21)
- 4.34. FUNCTII SPECIALE-liceu (17)
- 4.35. GRAFICE DE FUNCTII ELEMENTARE-liceu (11)
- 4.36. LIMITE DE SIRURI-liceu (27)
- 4.37. LIMITE DE FUNCTII-liceu (14)
- 4.38. FUNCTII CONTINUE-liceu (11)
- 4.39. FUNCTII DERIVABILE-liceu (19)
- 4.40. DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR-liceu (7)
- 4.41. DIFERENTIALA UNEI FUNCTII DERIVABILE-liceu (3)
- 4.42. FUNCTII CONVEXE, FUNCTII CONCAVE-liceu (4)
- 4.43. PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DERIVABILE-liceu (14)
- 4.44. PUNCTE CRITICE-liceu (5)
- 4.45. PUNCTE UNGHIULARE, PUNCTE DE INTOARCERE-liceu (6)
- 4.46. PRIMITIVE-liceu (19)
- 4.47. INTEGRALE DEFINITE-liceu (35)
- 4.48. SCHIMBARI DE VARIABILA-liceu (14)
- 4.49. APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE-liceu (14)
- 4.50. VECTORI-liceu (14)
- 4.51. TRIGONOMETRIE-liceu (29)
- 4.52. APLICATII ALE TRIGONOMETRIEI IN GEOMETRIE-liceu (13)
- 4.53. GEOMETRIE SINTETICA IN PLAN-liceu (40)
- 4.54. GEOMETRIE SINTETICA IN SPATIU-liceu (21)
- 4.55. GEOMETRIE ANALITICA IN PLAN-liceu (40)
- 4.56. GEOMETRIE ANALITICA IN SPATIU-liceu (18)
- 5. ALGORITMI IN MATEMATICA DE LICEU