Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 12 Martie, 2009

TEORIE

Functia polinomiala de gradul n:

f:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_{\circ},f:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_{\circ}, {a_k}\in{\mathbb{R}},k=\overline{0,n},{a_n}\not={0}{a_k}\in{\mathbb{R}},k=\overline{0,n},{a_n}\not={0}

Cazuri particulare:

1) n = 0 (functia constanta): 

f:R - > R, f(x) = a, unde a este numar real. 

  • monotona pe multimea numerelor reale si marginita; 
  • graficul este o dreapta paralela cu axa absciselor.

Observatii:

Axa absciselor are ecuatia y = 0 < = > f(x) = 0, xЄR.

Axa ordonatelor are ecuatia x = 0, y real arbitrar.

2) n = 1 (functia de gradul I): 

f:R - > R, f(x) = ax + b, unde a si b sunt numere reale, a nenul. 

Daca a,bЄR, atunci functia se numeste functie fina.

  • strict crescatoare pe multimea numerelor reale,daca a > 0  si
  • strict descrescatoare pe multimea numerelor reale,daca a < 0;
  • graficul este o dreapta oblica fata de axele de coordonate.
  • f are semnul lui a pe (-b/a,+oo) si semn contrar lui a pe (-oo,-b/a).
  • coeficientii a si b se numesc panta, respectiv ordonata la origine a dreptei respective.

Observatii:

Bisectoarea intai (ce corespunde cadranelor I si III) are ecuatia:

y = x < = > f(x) = x, x real arbitrar.

Bisectoarea a doua (ce corespunde cadranelor II si IV) are ecuatia:

y = -x < = > f(x) = -x, xЄR.

3) n = 2 (functia de gradul al II-lea): 

f:R - > R, f(x) = ax² + bx + c, unde aЄR*, b,cЄR. 

  • Strict descrescatoare pe (-\infty,-\frac{b}{2a}](-\infty,-\frac{b}{2a}] si strict crescatoare pe [-\frac{b}{2a},+\infty),[-\frac{b}{2a},+\infty), daca a > 0 si invers, daca a < 0, 
  • Nemarginita, cu minim = (-\frac{b}{2a})=\frac{-\Delta}{4a},(-\frac{b}{2a})=\frac{-\Delta}{4a}, daca a > 0;
  • Nemarginita, cu maxim = f(-\frac{b}{2a})=\frac{-\Delta}{4a},f(-\frac{b}{2a})=\frac{-\Delta}{4a}, daca a < 0;
  • Graficul este o parabola cu varful V(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}).V(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}).
  • Semnul lui f este dat de regula urmatoare:

1) daca ecuatia f(x) = 0 admite radacinile reale x1 si x, x1 < xatunci f are acelasi

semn cu a pe intervalele (-oox1) si (x2,+oo) si semn opus intre radacini;

2) daca ecuatia f(x) = 0 admite radacinile reale x1 = x, atunci

f are acelasi semn cu a pe R\{x1};

3) daca ecuatia f(x) = 0 nu admite radacini reale, atunci 

f are acelasi semn cu a pe R.

Functia rationala: 

f:D - > R, f(x)=\frac{{f_1}(x)}{{f_2}(x)}=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_{\circ}}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+b_{m-2}x^{m-2}+\cdots+b_2x^2+b_1x+b_{\circ}},f(x)=\frac{{f_1}(x)}{{f_2}(x)}=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_{\circ}}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+b_{m-2}x^{m-2}+\cdots+b_2x^2+b_1x+b_{\circ}},

unde polinomul f2 este diferit de polinomul nul,

{a_i},{b_j}\in{\mathbb{R}},i=\overline{o,n},j=\overline{0,m},{a_i},{b_j}\in{\mathbb{R}},i=\overline{o,n},j=\overline{0,m},

\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus{\begin{Bmatrix}x|b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+b_{m-2}x^{m-2}+\cdots+b_2x^2+b_1x+b_{\circ}=0\end{Bmatrix}}.\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus{\begin{Bmatrix}x|b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+b_{m-2}x^{m-2}+\cdots+b_2x^2+b_1x+b_{\circ}=0\end{Bmatrix}}.

(proprietatile acestor functii se studiaza de la caz la caz, folosind cunostinte de analiza matematica).

 

Functia putere:

f:(0,+oo) - > (0,+oo), f(x)=x^{\alpha},f(x)=x^{\alpha}, αЄR.

Cazuri particulare:

a) α = 0 = > f(x) = 1,

(functie constanta, definita pe multimea numerelor reale);

b) α = nЄN* = > f(x)=x^n,f(x)=x^n,

(functie polinomiala, definita pe multimea numerelor reale);

c) α = -n, nЄN* = > f(x)=\frac{1}{x^n},f(x)=\frac{1}{x^n},

(functie rationala, definita pe multimea numerelor reale nenule).

Observatie:

Pentru orice α real si nenul, functia putere f:(0,+oo) - > (0,+oo),

f(x)=x^{\alpha}f(x)=x^{\alpha}

este bijectiva si inversa sa este:

{f^{-1}}:{(0+\infty)}\rightarrow{(0,+\infty)},{f^{-1}}(x)={x}^{\frac{1}{\alpha}}.{f^{-1}}:{(0+\infty)}\rightarrow{(0,+\infty)},{f^{-1}}(x)={x}^{\frac{1}{\alpha}}.

Functia radical:

f:D - > R,

f(x)=\sqrt[n]{x},f(x)=\sqrt[n]{x}, nЄN*\{1};

daca n = 2k, kЄN*, atunci D = [0,+oo), iar daca n = 2k+1, kЄN*, atunci D = R.

Observatii:

  • Functia f:[0,+oo) - > [0,+oo), f(x)=\sqrt[2k]{x}f(x)=\sqrt[2k]{x}

este inversabila si

{f^{-1}}:[0,+\infty)\rightarrow{[0,+\infty)},{f^{-1}}(x)=x^{2k}{f^{-1}}:[0,+\infty)\rightarrow{[0,+\infty)},{f^{-1}}(x)=x^{2k}

este inversa sa;

  • Functia f:R - > R, f(x)=\sqrt[2k+1]{x}f(x)=\sqrt[2k+1]{x}

este inversabila si

{f^{-1}}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=x^{2k+1}{f^{-1}}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=x^{2k+1}

este inversa sa. 

Functia exponentiala:

f:R- >(0,+oo), f(x)=a^x,f(x)=a^x, aЄ(0,1)U(1,+oo);

  • strict crescatoare daca a >1 si
  • strict descrescatoare daca 0 < a < 1,
  • bijectiva, deci inversabila.

Functia  logaritmica:

f:(0,+oo)- >R, f(x) = logax, aЄ(0,1)U(1,+oo);

  • strict crescatoare daca a > 1 si
  • strict descrescatoare daca 0 < a < 1,
  • bijectiva, deci inversabila.

Observatii:

  • {y={a^x}}\Leftrightarrow{x={\log_{a}}{y}},{y={a^x}}\Leftrightarrow{x={\log_{a}}{y}},

xЄR, yЄ(0,+oo), aЄ(0,1)U(1,+oo).

  • Graficele functiilor exponentiala si logaritmica, in aceeasi baza, sunt simetrice fata de bisectoarea I.
  • Daca a = 10, atunci legea functiei se noteaza f(x) = lgx (logaritm zecimal)
  • Daca a = e, unde e=\lim{(1+\frac{1}{n})^n},e=\lim{(1+\frac{1}{n})^n}, atunci legea functiei se noteaza

        f(x) = lnx; (logaritm natural sau neperian).

Functia sinus:

f:R - > [-1;1], f(x) = sinx

  • periodica, avand perioada principala Tp = 2π, 
  • neinjectiva,
  • surjectiva,
  • marginita.
  • restrictia acestei functii, anume

\bar{f}:[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\rightarrow{[-1;1]},{\bar{f}}(x)=f(x):\bar{f}:[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\rightarrow{[-1;1]},{\bar{f}}(x)=f(x):

  • strict crescatoare, 
  • bijectiva, deci
  • inversabila si
  • inversa sa, strict crescatoare, este functia arcsinus, definita prin:

{f^{-1}}:[-1;1]\rightarrow{[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]},{f^{-1}}(x)={arcsinx}.{f^{-1}}:[-1;1]\rightarrow{[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]},{f^{-1}}(x)={arcsinx}.

Deci:

y = sinx < = > x = arcsiny, xЄ[-π/2,π/2], yЄ[-1;1].

Functia cosinus:

f:R - > [-1;1], f(x) = cosx

  • periodica, avand perioada principala Tp = 2π, 
  • neinjectiva,
  • surjectiva,
  • marginita.
  • restrictia acestei functii, anume

\bar{f}:[0,\pi]\rightarrow{[-1;1]},{\bar{f}}(x)=f(x),\forall{x}\in{[0;\pi]},\bar{f}:[0,\pi]\rightarrow{[-1;1]},{\bar{f}}(x)=f(x),\forall{x}\in{[0;\pi]},

  • strict descrescatoare,
  • este bijectiva, deci
  • inversabila si
  • inversa sa, strict descrescatoare, este functia arccosinus, definita prin:

{f^{-1}}:[-1;1]\rightarrow{[0;\pi]},{f^{-1}}(x)={arccosx}.{f^{-1}}:[-1;1]\rightarrow{[0;\pi]},{f^{-1}}(x)={arccosx}.

Deci:

y = cosx < = > x = arccosy, xЄ[o,π], yЄ[-1;1].

Functia tangenta:

f:R\{(2k+1)π/2|kЄZ} - > R, f(x) = tgx;

  • periodica, avand perioada principala Tp = π,
  • neinjectiva,
  • surjectiva,
  • nemarginita.
  • restrictia acestei functii, anume

\bar{f}:(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\rightarrow{\mathbb{R}},{\bar{f}}(x)=f(x):\bar{f}:(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\rightarrow{\mathbb{R}},{\bar{f}}(x)=f(x):

  • strict crescatoare,
  • este bijectiva, deci
  • inversabila si inversa sa, strict crescatoare, este functia arctangenta, definita prin:

{f^{-1}}:{\mathbb{R}}\rightarrow{(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})},{f^{-1}}(x)={arctgx}.{f^{-1}}:{\mathbb{R}}\rightarrow{(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})},{f^{-1}}(x)={arctgx}.

Deci:

y = tgx < = > x = arctgy, xЄ(-π/2,π/2), y€R.

Functia cotangenta:

f:R\{kπ|kЄZ} - > R, f(x) = ctgx;

  • periodica, avand perioada principala Tp = π,
  • neinjectiva,
  • surjectiva,
  • nemarginita.
  • restrictia acestei functii, anume

\bar{f}:(0,\pi)\rightarrow{\mathbb{R}},{\bar{f}}(x)=f(x):\bar{f}:(0,\pi)\rightarrow{\mathbb{R}},{\bar{f}}(x)=f(x):

  • strict descrescatoare,
  • este bijectiva, deci
  • inversabila si inversa sa, strict descrescatoare, este arccotangenta, definita prin:

{f^{-1}}:{\mathbb{R}}\rightarrow{(0,\pi)},\;{f^{-1}}(x)={arcctgx}.{f^{-1}}:{\mathbb{R}}\rightarrow{(0,\pi)},\;{f^{-1}}(x)={arcctgx}.

Deci:

y = ctgx < = > x = arcctgy, xЄ(o,π), yЄR.

Observatii:

1) Toate functiile de mai sus, precum si orice functie obtinuta din acestea, prin aplicarea succesiva, de un numar finit de ori, a operatiilor de adunare, scadere, inmultire, impartire, compunere si inversare, se numesc functii elementare;

2) Functiile elementare sunt continue pe domeniile lor de definitie;

3) Functiile elementare admit primitive pe orice interval inclus in domeniul lor de definitie.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Multumesc

Matei, 03.10.2012 10:31

Foarte util, multumesc mult, ai putea totusi adauga paritate si imparitate.

Răspuns: Multumesc pentru aprecieri! Nu mi-am propus, insa, sa prezint aici toate proprietatile functiilor respective; despre paritate si imparitate, a se citi aici : http://www.profesoronline.ro/functiigeneralitati/

Senzational

Dorel, 26.09.2012 00:00

Foarte bine redactat, impartit, foarte usor de creeat fise dupa, nota 14. ;)

Răspuns: 0

de apreciat

florin, 12.08.2012 16:02

mai mult decat folositor,va multumesc!

Răspuns: Si eu multumesc! ;)

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan