Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2008

TEORIE

Definitie:

Se spune ca o functie f:I - >R, este derivabilă în x = a, unde aЄI (I - interval), dacă 

\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

există şi este finită; dacă limita nu există sau este infinită, funcţia nu este derivabilă

în x = a; limita, când există, se noteaza cu f'(a).

Derivate laterale:

1) Daca exista \lim_{{x}\nearrow{a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},\lim_{{x}\nearrow{a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},

spunem ca functia f are derivata laterala la stanga in x = a, notata f's(a).

2) Daca exista \lim_{{x}\searrow{a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},\lim_{{x}\searrow{a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},

spunem ca functia f are derivata laterala la dreapta in x = a, notata f'd(a).

3) Daca f's(a) = f'd(a), spunem ca functia f are derivata in x = a.

4) O functie f este derivabila in x = a, daca si numai daca are derivate laterale

finite si egale in x = a.

Interpretarea geometrica a derivatei finite a unei functii intr-un punct:

Derivata finita a unei functii f:I - > R intr-un punct x = a din intervalul I

(adica f'(a)) reprezinta panta tangentei la graficul acestei functii, care trece prin

punctul T(a, f(a)); ecuatia tangentei este:

y - f(a) = f'(a)(x - a).

Teorema:

Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Derivata unei functii compuse:

Daca functiile u:D - > E si f:E - >R, 

unde D si E sunt intervale din multimea numerelor reale, sunt derivabile,

atunci functia h = fou:D - > R, numita compusa lor, definita prin legea h(x) = f(u(x)),

pentru orice x din D, este derivabila si

h'(x) = f'(u(x))·u'(x), sau, mai simplu, (f(u))' = f'·u'.

Teorema:

Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Derivata unei functii compuse:

Daca functiile u:D - > E si f:E - >R, 

unde D si E sunt intervale din multimea numerelor reale, sunt derivabile, atunci

functia h = fou:D - > R, numita compusa lor, definita prin legea 

h(x) = f(u(x)), pentru orice xЄD,

este derivabila si h'(x) = f'(u(x))·u'(x), sau, mai simplu, (f(u))' = f'·u'.

Derivata functiei inverse:

Fie functia bijectiva f:I - > J, unde I si J sunt intervale si xo apartine lui I.

Daca f este derivabila in xo  si f(xo)≠0, atunci

{f}^{-1}{f}^{-1} este derivabila in f(xo) si avem:

({f}^{-1})({f}^{-1})'(f({x}_{\circ})) = \frac{1}{{{f}^{'}}({x}_{\circ})}.

Operatii cu functii derivabile:

1)\;(u + v)1)\;(u + v)' = u' + v'.

2)\;(uv)2)\;(uv)' = u'v + uv'\Rightarrow(\prod_{k=1}^{k=n}{{u_k}})' = \sum_{k=1}^{k=n}{{u_1}{u_2}\cdots{(u_k)'}\cdots{u_n}}.

3)\;{(u^v)3)\;{(u^v)'}={u^v}v'\ln{u}+v{u^{v-1}}u'.

4)\;(\frac{u}{v})4)\;(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2},v\neq{0}.

Derivate uzuale:

1)\;c1)\;c' = 0, \;\forall{c}\in{\mathbb{R}}.

2)\;x2)\;x' =1, \forall{x}\in{\mathbb{R}}.

3)\;({x}^{n})3)\;({x}^{n})' = {n}{x}^{n-1},\forall{x}\in{{\mathbb{R}}^*},\forall{n}\in{{\mathbb{N}}^*}\Rightarrow{({u}^{n})'}= {n}{u}^{n-1}{u'}.

4)\;{({x}^{\alpha})4)\;{({x}^{\alpha})'} = {\alpha}{x}^{\alpha-1},\forall{x}\in{(0,\infty)},\forall{\alpha}\in{\mathbb{R}}\Rightarrow{({u}^{\alpha})'}={\alpha}{u}^{\alpha-1}{u'}.

Caz\;particular\;(\alpha=-1):\;(\frac{1}{x})Caz\;particular\;(\alpha=-1):\;(\frac{1}{x})' = - \frac{1}{x^2}, x \neq{0}\Rightarrow (\frac{1}{u})'= - \frac{u'}{u^2}.

5)\;(\sqrt{x})5)\;(\sqrt{x})' =\frac{1}{2\sqrt{x}},\forall{x}\in{(0,\infty)}\Rightarrow{(\sqrt{u})'}=\frac{u'}{2\sqrt{u}}.

6)\;{(\sqrt[n]{x})6)\;{(\sqrt[n]{x})'}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\Rightarrow{(\sqrt[n]{u})'}=\frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}.

7)\;({a}^{x})7)\;({a}^{x})' = {a}^{x}\ln{a},\forall{x}\in{\mathbb{R}} , 0 < a \neq{1} \Rightarrow{({a}^{u})'} = {a}^{u}{u'}\ln{a}.

8)\;({e}^{x})8)\;({e}^{x})'={e}^{x} , \forall{x}\in{\mathbb{R}}\Rightarrow{({e}^{u})'} = {e}^{u}{u'}.

9)\;{(\log_{a}{x})9)\;{(\log_{a}{x})'} = \frac{1}{x\ln{a}} , \forall{x}\in{(0,\infty)},0 < a\neq{1}\Rightarrow{(\log_{a}{u})'} = \frac{u'}{{u}\ln{a}}.

10)\;{(\ln{x})10)\;{(\ln{x})'} = \frac{1}{x} , \forall{x}\in{(0,\infty)}\Rightarrow{(\ln{u})'} = \frac{u'}{u}.

11)\;(\sin{x})11)\;(\sin{x})' = \cos{x},\forall{x}\in{R}\Rightarrow (\sin{u})' = (\cos{u}){u'}.

12)\;{(\cos{x})12)\;{(\cos{x})'}=-{\sin{x}},\forall{x}\in{R}\Rightarrow (\cos{u})'=(-\sin{u})u'.

13)\;{(tgx)13)\;{(tgx)'}=\frac{1}{{{\cos}^{2}}{x}}=1+{{tg}^{2}}{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}} \Rightarrow\Rightarrow {(tgu){(tgu)'} = \frac{u'}{{{\cos}^{2}}{u}}=(1+{{tg}^{2}}{u})u'.

14)\;{(ctgx)14)\;{(ctgx)'}=-{\frac{1}{{{\sin}^{2}}{x}}}={-{(1+{ctg}^{2}{x}})},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}} \Rightarrow\Rightarrow {(ctgu){(ctgu)'} = -\frac{u'}{{{\sin}^{2}}{u}}=-(1+{{ctg}^{2}}{u})u'.

15)\;(\arcsin{x})15)\;(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\forall{x}\in{(-1, 1)}\Rightarrow(\arcsin{u})' = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}.

16)\;(\arccos{x})16)\;(\arccos{x})' = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\forall{x}\in{(-1, 1)}\Rightarrow(\arccos{u})' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}.

17)\;(\sinh{x})17)\;(\sinh{x})' = (\frac{{e}^{x} - {e}^{-x}}{2})' =\frac{{e}^{x} + {e}^{-x}}{2}= \cosh{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\Rightarrow (\sinh{u})(\sinh{u})' = (\frac{{e}^{u} - {e}^{-u}}{2})' = \frac{{e}^{u} + {e}^{-u}}{2}{u'}=(\cosh{u}){u'}.

18)\;(\cosh{x})18)\;(\cosh{x})' = (\frac{{e}^{x} + {e}^{-x}}{2})' =\frac{{e}^{x} - {e}^{-x}}{2} =\sinh{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}} \Rightarrow\Rightarrow (\cosh{u})(\cosh{u})' = (\frac{{e}^{u} + {e}^{-u}}{2})' = (\frac{{e}^{u} - {e}^{-u}}{2}){u'}= (\sinh{u}){u'}.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Tian

Kris, 05.09.2011 09:08

ok

Răspuns: 0

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan