Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML
O categorie extrem de importantă de funcţii, care, datorită proprietăţilor
lor, permit abordarea eficientă a problemelor de extrem, a unor inegalităţi
remarcabile (şi nu numai!), o constituie funcţiile convexe şi concave.
In cele de mai jos, pot fi regăsite principalele rezultate teoretice, cu
exemplificări sugestive.
TEORIE.
Data publicarii: 31.01.2013Functie convexa:
O functie f:I - > R, unde I este interval, se numeste functie convexa pe intervalul I,
daca pentru orice x1,x2 ЄI si oricare ar fi tЄ[0;1], are loc inegalitatea:
f((1-t){x_1}+t{x_2})\leq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.
Observatie:
Daca functia f:I - > R, unde I este interval, este derivabila de doua ori pe I si
{f^{''}}(x)\geq{0},\forall{x}\in{I},
atunci functia f este convexa pe intervalul I.
Exemplu:
Functia
f:R - > R, f(x) = x²
este convexa pe R intrucat pentru orice x1,x2 ЄR si oricare ar fi tЄ[0;1]:
f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2).
Intr-adevar:
f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2)
\Leftrightarrow
{{((1-t)x_1+tx_2)}^2}\le{(1-t){x_1}^2+t{x_2}^2}
\Leftrightarrow
\cdots
\Leftrightarrow
{t(t-1){(x_1-x_2)}^2}\le{0},
evident adevarat, pentru orice x1,x2 ЄR si oricare ar fi tЄ[0;1].
Observatie:
PROBLEMA 3
Data publicarii: 14.09.2013Suport teoretic:
Functii derivabile,functii trigonometrice,identitati trigonometrice,functii concave.
Enunt:
Sa se demonstreze ca functia
f:R - > R, f(x) = 3 - 3x² - 4sinx - 4cosx,
este concava pe R.
PROBLEMA 2
Data publicarii: 28.07.2013Suport teoretic:
Functii polinomiale,functii derivabile,functii convexe.
Enunt:
Sa se arate ca functia polinomiala
f:R - > R,
f(x)=2x^6+5x^4+30x^2+60x+4
admite un singur punct de minim.
PROBLEMA 1
Data publicarii: 06.07.2013Suport teoretic:
Functii polinomiale,functii derivabile,functii convexe,functii gradul 2.
Enunt:
Sa se afle aЄZ, astfel incat functia polinomiala
f:R - >R,
f(x)=2x^4+ax^3+ax^2+ax+2,
sa fie convexa pe R.
Raspuns:
aЄ{0,1,2,3,4,5}.
CATEGORII :
- 1. CUM ABORDAM O PROBLEMA? (0)
- 2. BREVIAR TEORETIC-gimnaziu
- 3. ALGORITMI IN MATEMATICA DE GIMNAZIU
-
4. BREVIAR TEORETIC-liceu
- 4.1. MULTIMI NUMERICE-liceu (20)
- 4.2. NUMERE REALE-liceu (8)
- 4.3. NUMERE COMPLEXE-liceu (12)
- 4.4. IDENTITATI ALGEBRICE REMARCABILE-liceu (10)
- 4.5. INEGALITATI-liceu (17)
- 4.6. INECUATII-liceu (20)
- 4.7. ECUATII DIOFANTICE-liceu (5)
- 4.8. ECUATII ALGEBRICE-liceu (27)
- 4.9. ECUATII TRANSCENDENTE-liceu (26)
- 4.10. PROGRESII-liceu (17)
- 4.11. COMBINATORICA-liceu (10)
- 4.12. BINOMUL LUI NEWTON-liceu (6)
- 4.13. LOGARITMI-liceu (21)
- 4.14. PROBABILITATI-liceu (21)
- 4.15. PERMUTARI (SUBSTITUTII)-liceu (7)
- 4.16. SUME-liceu (14)
- 4.17. DETERMINANTI-liceu (14)
- 4.18. MATRICE-liceu (22)
- 4.19. SISTEME DE ECUATII LINIARE-liceu (12)
- 4.20. SISTEME DE ECUATII NELINIARE-liceu (12)
- 4.21. LEGI DE COMPOZITIE-liceu (8)
- 4.22. CLASE DE RESTURI MODULO n - liceu (9)
- 4.23. GRUPURI-liceu (8)
- 4.24. INELE SI CORPURI-liceu (5)
- 4.25. POLINOAME CU COEFICIENTI INTR-UN INEL COMUTATIV. (2)
- 4.26. POLINOAME CU COEFICIENTI REALI-liceu (15)
- 4.27. POLINOAME CU COEFICIENTI COMPLECSI-liceu (7)
- 4.28. RELATII-liceu (1)
- 4.29. RELATIA DE DIVIZIBILITATE IN INELUL INTREGILOR-liceu (13)
- 4.30. RELATIA DE DIVIZIBILITATE IN INELUL POLINOAMELOR-liceu (9)
- 4.31. FUNCTII (generalitati)-liceu (38)
- 4.32. FUNCTII INVERSABILE-liceu (20)
- 4.33. FUNCTII ELEMENTARE-liceu (21)
- 4.34. FUNCTII SPECIALE-liceu (17)
- 4.35. GRAFICE DE FUNCTII ELEMENTARE-liceu (12)
- 4.36. LIMITE DE SIRURI-liceu (28)
- 4.37. LIMITE DE FUNCTII-liceu (14)
- 4.38. FUNCTII CONTINUE-liceu (11)
- 4.39. FUNCTII DERIVABILE-liceu (19)
- 4.40. DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR-liceu (7)
- 4.41. DIFERENTIALA UNEI FUNCTII DERIVABILE-liceu (3)
- 4.42. FUNCTII CONVEXE, FUNCTII CONCAVE-liceu (4)
- 4.43. PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DERIVABILE-liceu (14)
- 4.44. PUNCTE CRITICE-liceu (5)
- 4.45. PUNCTE UNGHIULARE, PUNCTE DE INTOARCERE-liceu (6)
- 4.46. PRIMITIVE-liceu (19)
- 4.47. INTEGRALE DEFINITE-liceu (35)
- 4.48. SCHIMBARI DE VARIABILA-liceu (14)
- 4.49. APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE-liceu (14)
- 4.50. VECTORI-liceu (14)
- 4.51. TRIGONOMETRIE-liceu (29)
- 4.52. APLICATII ALE TRIGONOMETRIEI IN GEOMETRIE-liceu (13)
- 4.53. GEOMETRIE SINTETICA IN PLAN-liceu (40)
- 4.54. GEOMETRIE SINTETICA IN SPATIU-liceu (21)
- 4.55. GEOMETRIE ANALITICA IN PLAN-liceu (40)
- 4.56. GEOMETRIE ANALITICA IN SPATIU-liceu (18)
- 5. ALGORITMI IN MATEMATICA DE LICEU