Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

O categorie extrem de importantă de funcţii, care, datorită proprietăţilor

lor, permit abordarea eficientă a problemelor de extrem, a unor inegalităţi

remarcabile (şi nu numai!), o constituie funcţiile convexe şi concave

In cele de mai jos, pot fi regăsite principalele rezultate teoretice, cu

exemplificări sugestive.

TEORIE.

Data publicarii: 31.01.2013

Functie convexa:

O functie f:I - > R, unde I este interval, se numeste functie convexa pe intervalul I,

daca pentru orice x1,xЄI si oricare ar fi tЄ[0;1], are loc inegalitatea:

f((1-t){x_1}+t{x_2})\leq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.f((1-t){x_1}+t{x_2})\leq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.  

Observatie:

Daca functia f:I - > R, unde I este interval, este derivabila de doua ori pe I si

{f^{{f^{''}}(x)\geq{0},\forall{x}\in{I},  

atunci functia f este convexa pe intervalul I.

Exemplu:

Functia

f:R - > R, f(x) = x²

este convexa pe R intrucat pentru orice x1,xЄR si oricare ar fi tЄ[0;1]:

f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2).f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2).

Intr-adevar:

f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2)f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2) \Leftrightarrow\Leftrightarrow {{((1-t)x_1+tx_2)}^2}\le{(1-t){x_1}^2+t{x_2}^2}{{((1-t)x_1+tx_2)}^2}\le{(1-t){x_1}^2+t{x_2}^2} \Leftrightarrow\Leftrightarrow

\cdots\cdots \Leftrightarrow\Leftrightarrow {t(t-1){(x_1-x_2)}^2}\le{0},{t(t-1){(x_1-x_2)}^2}\le{0},

evident adevarat, pentru orice x1,xЄR si oricare ar fi tЄ[0;1].

Observatie:

CONTINUARE LA : TEORIE.

PROBLEMA 3

Data publicarii: 14.09.2013

Suport teoretic:

Functii derivabile,functii trigonometrice,identitati trigonometrice,functii concave.

Enunt:

Sa se demonstreze ca functia

f:R - > R, f(x) = 3 - 3x² - 4sinx - 4cosx,

este concava pe R.

CONTINUARE LA : PROBLEMA 3

PROBLEMA 2

Data publicarii: 28.07.2013

Suport teoretic:

Functii polinomiale,functii derivabile,functii convexe.

Enunt:

Sa se arate ca functia polinomiala

f:R - > R, 

f(x)=2x^6+5x^4+30x^2+60x+4f(x)=2x^6+5x^4+30x^2+60x+4

admite un singur punct de minim.

CONTINUARE LA : PROBLEMA 2

PROBLEMA 1

Data publicarii: 06.07.2013

Suport teoretic:

Functii polinomiale,functii derivabile,functii convexe,functii gradul 2.

Enunt:

Sa se afle aЄZ, astfel incat functia polinomiala

f:R - >R,

f(x)=2x^4+ax^3+ax^2+ax+2,f(x)=2x^4+ax^3+ax^2+ax+2,  

sa fie convexa pe R.

Raspuns:

aЄ{0,1,2,3,4,5}.

CONTINUARE LA : PROBLEMA 1

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan