Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»FUNCTII CONVEXE, FUNCTII CONCAVE-liceu

O categorie extrem de importantă de funcţii, care, datorită proprietăţilor

lor, permit abordarea eficientă a problemelor de extrem, a unor inegalităţi

remarcabile (şi nu numai!), o constituie funcţiile convexe şi concave.

In cele de mai jos, pot fi regăsite principalele rezultate teoretice, cu

exemplificări sugestive.

TEORIE.

Data publicarii: 31.01.2013

Functie convexa:

O functie f:I - > R, unde I este interval, se numeste functie convexa pe intervalul I,

daca pentru orice x1,x2 ЄI si oricare ar fi tЄ[0;1], are loc inegalitatea:

$f((1-t){x_1}+t{x_2})\leq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.$ f((1-t){x_1}+t{x_2})\leq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.

Observatie:

Daca functia f:I - > R, unde I este interval, este derivabila de doua ori pe I si

${f^{$ {f^{''}}(x)\geq{0},\forall{x}\in{I},

atunci functia f este convexa pe intervalul I.

Exemplu:

Functia

f:R - > R, f(x) = x²

este convexa pe R intrucat pentru orice x1,x2 ЄR si oricare ar fi tЄ[0;1]:

$f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2).$ f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2).

Intr-adevar:

$f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2)$ f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2) $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${{((1-t)x_1+tx_2)}^2}\le{(1-t){x_1}^2+t{x_2}^2}$ {{((1-t)x_1+tx_2)}^2}\le{(1-t){x_1}^2+t{x_2}^2} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow

$\cdots$ \cdots $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${t(t-1){(x_1-x_2)}^2}\le{0},$ {t(t-1){(x_1-x_2)}^2}\le{0},

evident adevarat, pentru orice x1,x2 ЄR si oricare ar fi tЄ[0;1].

Observatie:

CONTINUARE LA : TEORIE.

Postat în: FUNCTII CONVEXE, FUNCTII CONCAVE-liceu|Vezi comentarii (0)

PROBLEMA 3

Data publicarii: 14.09.2013

Suport teoretic:

Functii derivabile,functii trigonometrice,identitati trigonometrice,functii concave.

Enunt:

Sa se demonstreze ca functia

f:R - > R, f(x) = 3 - 3x² - 4sinx - 4cosx,

este concava pe R.

CONTINUARE LA : PROBLEMA 3

Postat în: FUNCTII CONVEXE, FUNCTII CONCAVE-liceu|Vezi comentarii (0)

PROBLEMA 2

Data publicarii: 28.07.2013

Suport teoretic:

Functii polinomiale,functii derivabile,functii convexe.

Enunt:

Sa se arate ca functia polinomiala

f:R - > R,

$f(x)=2x^6+5x^4+30x^2+60x+4$ f(x)=2x^6+5x^4+30x^2+60x+4

admite un singur punct de minim.

CONTINUARE LA : PROBLEMA 2

Postat în: FUNCTII CONVEXE, FUNCTII CONCAVE-liceu|Vezi comentarii (1)

PROBLEMA 1

Data publicarii: 06.07.2013

Suport teoretic:

Functii polinomiale,functii derivabile,functii convexe,functii gradul 2.

Enunt:

Sa se afle aЄZ, astfel incat functia polinomiala

f:R - >R,

$f(x)=2x^4+ax^3+ax^2+ax+2,$ f(x)=2x^4+ax^3+ax^2+ax+2,

sa fie convexa pe R.

Raspuns:

aЄ{0,1,2,3,4,5}.

CONTINUARE LA : PROBLEMA 1

Postat în: FUNCTII CONVEXE, FUNCTII CONCAVE-liceu|Vezi comentarii (0)

LE FRANCAIS

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

TEORIE.

PROBLEMA 3

PROBLEMA 2

PROBLEMA 1

CATEGORII :

Arhiva blog-ului