Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 09 Noiembrie, 2008

Definitii:

O functie f, reala, de argument real, definita pe D si cu valori in R, este continuă în

punctul a din D, dacă pentru oricare şir (xn), xn din D, convergent la a, sirul (f(xn)) este

convergent şi

$\lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{f{({x}_{n})}} ={ f(a)}.$ \lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{f{({x}_{n})}} ={ f(a)}.

Punctul a din D se numeste punct de continuitate al functiei f, daca functia este continua in a.
Daca functia nu este continua in punctul a, ea se numeste discontinua in punctul a, iar punctul a se numeste punct de discontinuitate al functiei f.
Daca punctul a este punct de discontinuitate al functiei f, iar f(a - 0) si f(a + 0)(adica limitele la stanga si la dreapta in a) exista si sunt finite, a se numeste punct de discontinuitate de speta I al functiei f; numim puncte de discontinuitate de speta II ale functiei f toate celelalte puncte de discontinuitate.

Prelungirea prin continuitate a unei functii:

Fie f:(D\{a}) - > R o functie reala de variabila reala, unde a este un punct de

acumulare al multimii D (adica in orice vecinatate a lui a se gaseste cel putin un

element din D, diferit de a).

Daca functia f are limita finita in a si

$\lim_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}=L,$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}=L,

functia

$\tilde{f}:{D}\cup{\{a}\}\rightarrow{\mathbb{R}},$ \tilde{f}:{D}\cup{\{a}\}\rightarrow{\mathbb{R}},

definita prin

$\tilde{f}(x) = \begin{cases}f(x),x\neq{a}\\\mathit{l},\;x=a\end{cases},$ \tilde{f}(x) = \begin{cases}f(x),x\neq{a}\\\mathit{l},\;x=a\end{cases},

evident continua in a, se numeste prelungirea prin continuitate a functiei f in punctul a.

Functii cu proprietatea lui Darboux:

Fie f:I - > R o functie, unde I este un interval inclus in R.

Functia f are proprietatea lui Darboux pe I, daca pentru orice a, b din I, si orice

λ intre f(a) si f(b), exista xλ € (a,b), astfel incat f(xλ) = λ.

Teorema:

Orice functie continua pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval.

Teorema lui Weierstrass:

Fie intervalul [a,b] inclus in R; orice functie continua f:[a,b] - > R este marginita si isi

atinge marginile pe acest interval (adica f([a,b]) este un interval inchis si marginit).

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.