Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 24 Aprilie, 2012

FUNCTIA TANGENTA

Definitie:

Fie M imaginea numarului real x prin functia φ de acoperire universala a cercului

unitate. Se construieste dreapta (d), tangenta la cerc in punctul A(1;0), care

intersecteaza (in cazurile in care M este diferit de B si B') dreapta OM in punctul T.

Prin definitie, ordonata punctului T reprezinta tgx.  Deci T(1;tgx).

De remarcat faptul important ca punctele B si B' sunt imaginile, prin functia φ (de

acoperire universala a cercului unitate) ale numerelor reale de forma

(2k+1)π/2, unde k€Z (multiplii impari de π/2).

Prin urmare, functia tangenta este definita prin:

f:R\{(2k+1)π/2|k€Z} -> R, f(x) = tgx = ordonata punctului T.

Observatii:

1) Din desenul de mai sus, folosindu-ne de asemanarea unor triunghiuri dreptunghice,

se deduce imediat ca tgx = sinx/cosx, oricare ar fi x€R\{(2k+1)π/2|k€Z}.

2) Pentru x€{(2k+1)π/2|k€Z}, M = B sau M = B', deci dreapta OM este paralela cu

(d), deci punctul T nu exista si, implicit, nici tgx.

3) Daca M apartine arcului mic (AB) sau (A'B'), dreapta OM intersecteaza (d) in

cadranul I, deci T are ordonata pozitiva, prin urmare si tgx > 0.

4) Daca M apartine arcului mic (BA') sau (B'A), dreapta OM intersecteaza (d) in

cadranul al IV-lea, deci T are ordonata negativa, prin urmare si tgx < 0.

5) Daca M = A sau M = A' (in cazurile x = kπ, k€Z), rezulta imediat ca tgx = 0.

Reprezentarea geometrica a graficului functiei tangenta:

Urmarind variatia ordonatei punctului T, influentata de deplasarea punctului M pe

cerc, se poate intui relativ usor aspectul graficului functiei tangenta:

Lecturarea graficului de mai sus permite semnalarea urmatoarelor proprietati ale

functiei tangenta:

1) Graficul este format dintr-o infinitate de curbe disjuncte, admitand ca

asimptote verticale dreptele de ecuatii x = (2k+1)π/2, unde k€Z.

2) Functia tangenta  este periodica, avand perioada principala Tp = π.

3) Functia tangenta nu este injectiva, dar este surjectiva.

4) Restrictia functiei tangenta la intervalul (-π/2;π/2) este bijectiva

(strict crescatoare - deci injectiva si surjectiva - valorile sale acopera R),

inversa acesteia fiind functia arctangenta.

Aplicatie:

Enunt: 

Sa se arate ca ecuatia transcendenta

\sqrt{1-x^2}=tgx\sqrt{1-x^2}=tgx

admite o singura radacina reala (pozitiva si subunitara).

Rezolvare:

Mai intai sa observam ca existenta membrului I al ecuatiei, impune ca domeniu de

definitie al acesteia intervalul [-1;+1]; pe acest interval, functia tangenta creste strict

de la tg(-1) la tg1, iar membrul I creste strict de la 0 la 1 pe intervalul [-1;0] si

descreste strict de la 1 la 0 pe intervalul [0;1].

Rezulta ca exista un numar real unic xo€(0;1), pentru care are loc egalitatea.

Desenul de mai jos ilustreaza grafic acest rationament:


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

Selecteaza link-ul de mai jos pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

Abonare la ultimele noutati aparute pe website !

Abonează-te (gratuit) şi vei fi anunţat(ă) în legătură cu ultimele noutăţi apărute pe site, numai după ce vei confirma aceasta opţiune in email-ul primit la adresa indicată!

 

 
Developed by Hagau Ioan