Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 25 Aprilie, 2012

FUNCTIA COTANGENTA

Definitie:

Fie M imaginea numarului real x prin functia φ de acoperire universala a cercului unitate.

Se construieste dreapta (d), tangenta la cerc in punctul B(0;1), care intersecteaza

(in cazurile in care M este diferit de A si A') dreapta OM in punctul T.

Prin definitie, abscisa punctului T reprezinta ctgx. Deci T(ctgx;1).

De remarcat faptul important ca punctele A si A' sunt imaginile, prin functia φ

(de acoperire universala a cercului unitate) ale numerelor reale de forma kπ, unde k€Z

(multiplii intregi de π).

Prin urmare, functia cotangenta este definita prin:

f:R\{kπ|k€Z} -> R, f(x) = ctgx = abscisa punctului T.

Observatii:

1) Din desenul de mai sus, folosindu-ne de asemanarea unor triunghiuri dreptunghice,

se deduce imediat: ctgx = cosx/sinx, oricare ar fi x€R\{kπ|k€Z}.

2) Pentru x€{kπ|k€Z}, M = A sau M = A', deci dreapta OM este paralela cu (d),

deci punctul T nu exista si, implicit, nici ctgx.

3) Daca M apartine arcului mic (AB) sau (A'B'), dreapta OM intersecteaza (d) in cadranul

I, deci T are abscisa pozitiva, prin urmare si ctgx > 0.

4) Daca M apartine arcului mic (BA') sau (B'A), dreapta OM intersecteaza (d) in cadranul

al II-lea, deci T are abscisa negativa, prin urmare si ctgx < 0.

5) Daca M = B sau M = B' (in cazurile x€{(2k+1)π/2|k€Z}),

rezulta imediat: ctgx = 0.

Reprezentarea geometrica a graficului functiei cotangenta:

Urmarind variatia abscisei punctului T, influentata de deplasarea punctului M pe cerc,

se poate intui relativ usor aspectul graficului functiei cotangenta:

Lecturarea graficului de mai sus permite semnalarea urmatoarelor proprietati ale

functiei cotangenta:

1) Graficul este format dintr-o infinitate de curbe disjuncte, admitand ca

asimptote verticale dreptele de ecuatii x = kπ, unde k€Z.

2) Functia cotangenta  este periodica, avand

perioada principala Tp = π.

3) Functia cotangenta nu este injectiva, dar este surjectiva.

4) Restrictia functiei tangenta la intervalul (0;π) este bijectiva

(strict descrescatoare - deci injectiva si surjectiva - valorile sale acopera R),

inversa acesteia fiind functia arccotangenta.

Aplicatie:

Enunt:

Sa se precizeze numarul radacinilor reale ale ecuatiei transcendente:

ctgx-e^x+2=0,ctgx-e^x+2=0,

definita pe multimea [-3π/2;+3π/2].

Rezolvare:

Scrisa sub forma f(x) = g(x), unde f(x) = ctgx si g(x) = e^x - 2, raspunsul este dat

de numarul punctelor de intersectie al graficelor celor doua functii, adica 4

(radacinile au fost notate a,b,c,d):


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan