Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Mai, 2012

FUNCTIA ARCTANGENTA

Definitie:

Functia inversa a restrictiei bijective a functiei tangenta la intervalul (-π/2;+π/2),anume

f:(-π/2;+π/2) - > R, f(x) = tgx,

se numeste arctangenta. Deci:

f^{-1}:{R}\rightarrow{(-\frac{\pi}{2};\;+\frac{\pi}{2})},\;x=f^{-1}(y)=arctgy.f^{-1}:{R}\rightarrow{(-\frac{\pi}{2};\;+\frac{\pi}{2})},\;x=f^{-1}(y)=arctgy.

Observatii:

1) y = tgx <=> x = arctgy, unde xЄ(-π/2;+π/2) si yЄR.

2) Graficul functiei arctangenta este simetricul graficului restrictiei functiei tangenta de

mai sus, fata de bisectoarea I.

Reprezentarea grafica a functiei arctangenta:

Observatii:

1) In desenul de mai sus, notatia y = g(x) = arctgx inlocuieste, conform uzantelor,

notatia

x=f^{-1}(y)=arctgy,x=f^{-1}(y)=arctgy,

in care, pentru simplificarea redactarii, functia inversa este notata g, iar argumentul

y a fost inlocuit cu traditionalul x.

Evident, yЄ(-π/2;+π/2) si xЄR in scrierea y = g(x) = arctgx.

2) Functia arctangenta este strict crescatoare si marginita, multimea valorilor sale

(imaginea functiei) fiind intervalul (-π/2;+π/2).

3) Dreptele de ecuatii y = ±(π/2) sunt asimptote orizontale ale graficului functiei

arctangenta spre ±οο.

Aplicatie:

Enunt:

Fie functia f:D - > R, f(x) = arctgx - arccosx, unde D este domeniul sau maxim de

definitie. Se cere:

a) Sa se determine multimea D.

b) Sa se rezolve inecuatia: f(x) < 0.

Rezolvare:

a) Intrucat functia g(x) = arctgx este definita pe R, iar functia

h(x) = arccosx este definita pe [-1;+1], rezulta ca functia f este definita pe intersectia

celor doua multimi, adica D = [-1;+1].

b) Din reprezentarea geometrica a graficelor celor doua functii, se deduce ca

f(x) < 0 < = > g(x) < h(x)  < = > - 1 < x < α,

unde α este un numar real din intervalul (0;1), determinat mai

jos:

                                                                          

Numarul α este solutia (unica) a ecuatiei arctgx = arccosx; evident, valoarea comuna

a numerelor egale arctgx si arccos x apartine intervalului (0;π/2) si, cum functia

tg este injectiva pe acest interval, avem ecuatia echivalenta :

tg(arctgx) = tg(arccosx) < = > x = tg(arccosx) < = > x = sin(arccosx)/cos(arccosx)

\Leftrightarrow{x=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}\Leftrightarrow{\cdots}\Leftrightarrow{x^4+x^2-1=0}.\Leftrightarrow{x=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}\Leftrightarrow{\cdots}\Leftrightarrow{x^4+x^2-1=0}.

Se deduce de aici :

\alpha=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}.\alpha=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan