Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 08 Mai, 2012

FUNCTIA ARCCOTANGENTA

Definitie:

Functia inversa a restrictiei bijective a functiei cotangenta la intervalul (0;π) , anume

f:(0;π) - > R, f(x) = ctgx, se numeste arccotangenta. Deci:

f^{-1}:{R}\rightarrow{(0;\pi)},\;x=f^{-1}(y)=arcctgy.f^{-1}:{R}\rightarrow{(0;\pi)},\;x=f^{-1}(y)=arcctgy.

Observatii:

1) y = ctgx <=> x = arcctgy, unde xЄ(0;π) si yЄR.

2) Graficul functiei arccotangenta este simetricul graficului restrictiei functiei cotangenta

de mai sus, fata de bisectoarea I.

Reprezentarea grafica a functiei arccotangenta:

 

Observatii:

1) In desenul de mai sus, notatia y = g(x) = arcctgx inlocuieste, conform uzantelor,

notatia

x=f^{-1}(y)=arcctgy,x=f^{-1}(y)=arcctgy,

in care, pentru simplificarea redactarii, functia inversa este notata g, iar argumentul

y a fost inlocuit cu traditionalul x.

Evident, yЄ(0;π) si x€R in scrierea y = g(x) = arcctgx.

2) Functia arccotangenta este strict descrescatoare si marginita, multimea valorilor

sale (imaginea functiei) fiind intervalul (0;π).

3) Dreptele de ecuatii y = 0 si y = π sunt asimptote orizontale ale graficului functiei

arccotangenta spre ±οο.

Aplicatie:

Enunt:

Sa se determine m real, astfel incat ecuatia transcendenta

arcctgx - mx - m = 0

sa aiba o singura radacina reala negativa.

Rezolvare:

Se scrie ecuatia sub forma echivalenta

f(x) = g(x), definita pe R, unde f(x) = arcctgx si g(x) = m(x+1).

Se impune, deci, ca reprezentarile grafice ale celor doua functii sa aiba un singur

punct de intersectie, cu abscisa negativa.

Desenul de mai jos este foarte sugestiv pentru identificarea solutiei:

Intrucat dreapta de ecuatie y = m(x+1) trebuie sa intersecteze curba de ecuatie

y = arcctgx in cadranul al doilea (pentru ca abscisa xsa fie negativa), trebuie ca

masura unghiului α sa apartina intervalului (αο,π); evident, cum tgαο = π/2,

deducem ca αο = arctg(π/2), deci masura unghiului apartine intervalului (arctg(π/2);π).

Observatie:

Dreapta de ecuatie x = -1 (perpendiculara pe axa absciselor) intersecteaza curba

y = arcctgx (intr-un punct de abscisa negativa!). Aceasta dreapta formeaza cu axa Ox

un unghi drept, inclus in intervalul (arctg(π/2);π), deci se exclude din solutia problemei,

neavand panta.

Raspuns:

mЄ(-oo;0)U(π/2;+oo).


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan