Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 30 Ianuarie, 2012

FRACTII PERIODICE - gimnaziu

Definitii:

  • O fractie zecimala (numar zecimal) de forma 

x = a0,a1a2 ... apa1a2 ... apa1a2 ... ap ... ,

care se noteaza x = a0,(a1a2 ... ap), unde a0ЄN, iar grupul de cifre (a1 a2 ...ap) (perioada)

se repeta la nesfarsit, se numeste fractie periodica simpla.

Exemple:

1) 5,(243) = 5,243243243 ...

2) 136,(7) = 136,777 ...

3) 69,(0)   = 69,000 ... = 69.

Exemple de transformare in fractie ordinara:

1) 0,(23)      = 23/99.

2) 0,(178)    = 178/999.

3) 36,(8357) = 36+8357/9999 (numar mixt).

Observatii:

1) Numarul 0,(9) = 0,999 ... trebuie privit ca limita a sirului de

numere 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; 0,99999; ... , care cresc,

apropiindu-se, din ce in ce mai mult, de numarul 1; deci, formal, admitem: 0,(9) = 1. 

2) Nu exista nicio fractie ordinara (evident, subunitara si ireductibila) de forma a/b,

astfel incat a/b = 0,(9).

Pentru demonstrarea acestui adevar se poate folosi metoda reducerii la absurd:

presupunem ca exista o asemenea fractie si se efectueaza impartirea a: b .

Se obtine, in prima faza catul 0 (partea intreaga a catului) si restul r = a.

Se imparte apoi 10·a la b pentru obtinerea primei zecimale a catului (anume 9) si

acelasi rest r, pentru ca la pasul urmator sa se obtina acelasi cat 9.

In aceste conditii, avem

10·r = 9·b + r (identitatea impartirii cu rest in numere naturale) si, de aici:

9·r = 9·b < = > r = b; contradictie, caci restul este mai mic decat impartitorul!

Afirmatia este, deci, adevarata.

  • O fractie zecimala (numar zecimal) de forma

x = a0,a1a2 ...anan+1an+2 ... an+pan+1an+2 ... an+pan+1an+2 ...an+p...,

care se noteaza x = a0,a1a2 ...an(an+1an+2 ... an+p),

unde a0€N, iar grupul (an+1an+2 ... an+p) (perioada) se repeta la nesfarsit, se numeste

fractie periodica mixta; grupul de cifre (a1a2 ...an), situat imediat dupa virgula, care

nu se repeta, se numeste parte neperiodica.

Exemple:

1) 28,7(13)  = 28,7131313...

2) 0,70(5)    = 0,70555...

3) 278,58(0) = 278,58000 ... = 278,58.

4) 0,00(9)     = 0,00999 ...    = 0,01,

caci sirul 0,009; 0,0099; 0,00999; ... creste spre 0,01.

Exemple de transformare in fractie ordinara:

1) 0,2(47)        = (247-2)/990.

2) 0,103(6381) = (1036381-103)/9999000.

3) 2,7(456)      = 2+(7456-7)/9990 (numar mixt). 

Observatie: 

Orice numar real poate fi conceput ca o fractie zecimala cu un numar infinit de

zecimale si anume:

  • Orice numar intreg k = k,000 ... = k,(0).

Exemplu: - 23 = - 23,000 ... = - 23,(0).

  • Orice numar rational, de forma q = m/n, unde (m,n) = 1, devine, prin impartirea m:n,

q = a0,a1a2 ... ak ...  (fractie periodica simpla sau mixta).

Exemple:

1) - 23    = - 23,000 ... = - 23,(0).

2) 22/5   = 0,4000 ...    = 0,4(0).

3) 1/3    = 0,333 ...       = 0,(3).

4) - 5/6  = - 0,8333 ...  = - 0,8(3).

  • Orice numar irational, prin definitie, este numar zecimal cu o infinitate de cifre zecimale, care nu se succed periodic.

Exemplu: π = 3,141592... 


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan