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Cas de congruence pour les triangles quelconques:

Pour que deux triangles quelconques, ABC et  A'B'C', soient congrus, il suffit qu'ils aient:

I)   (AB) Ξ (A'B'), (A'C') Ξ (A'C') et mes(A) = mes(A');

II)  (AB) Ξ (A'B'), mes(A) = mes(A') et mes(C) = mes(C');

III) (AB) Ξ (A'B'), mes(A) = mes(A') et mes(B) = mes(B');

IV) (AB) Ξ (A'B'), (BC) Ξ (B'C') et (CA) Ξ (C'A'); 

Cas de congruence pour les triangles rectangles:

Pour que deux triangles rectangles, ABC et A'B'C' (où A et A' sont les angles droits),

soient congrus, il suffit qu'ils aient:

Théorème de Thales:

Directement:

Soit le triangle ABC et D € (AB, E € (AC; si DE || BC;

alors: DA/DB = EA/EC.

Réciproquement:

Soit le triangle ABC et D € (AB, E € (AC,

tel que DA/DB = EA/EC, ou AD/AB = AE/AC, ou AB/DB = AC/EC;

alors: DE ll BC.

Théorème fondamental  de similitude:

Soit le triangle ABC et DE ll BC, A différent de D € AB, E € AC; alors:

\Delta{ADE}\sim\Delta{ABC}.

Cas de similitude pour les triangles quelconques:

Pour que deux triangles quelconques, ABC et A'B'C', soient semblables, il suffit qu'ils aient:

I) mes(A) = mes(A') et mes(B) = mes(B');

II) mes(A) = mes(A') et AB/A'B' = AC/A'C';

III) AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'.

Théorème de Ménélaos:

Directement: 

Soit le triangle ABC et A', B', C' trois points alignés et distincts, tels que

A' € BC, B' € CA, C' € AB; alors:

\frac{A'B}{A'C}\cdot\frac{B'C}{B'A}\cdot\frac{C'A}{C'B}=1.

Réciproquement:

Soit le triangle ABC et les points distincts A', B', C', situés sur les droites

BC, AC, respectivement AB. Si deux de ces points sont situés sur les

côtés du triangle et l'un est situé sur le prolongement du troisieme côté, ou aucun

n'est situé sur les côtés du triangle, mais sur les prolongements des ceux-ci et

\frac{A'B}{A'C}\cdot\frac{B'C}{B'A}\cdot\frac{C'A}{C'B}=1,

alors les points A', B' et C' sont alignés.

Théorème de Céva:

Directement: 

Soit le triangle ABC et le point M € Int(ΔABC). Si 

{A'}\in{(AM}\cap(BC),{B'}\in{(MB}\cap(AC),{C'}\in{(MC}\cap(AB),

alors:

{\frac{A'B}{A'C}}\cdot{\frac{B'C}{B'A}}\cdot{\frac{C'A}{C'B}}=1.

Réciproquement:

Soit le triangle ABC et les points A' € (BC), B' € (CA), C' € (AB). Si

{\frac{A'B}{A'C}}\cdot{\frac{B'C}{B'A}}\cdot{\frac{C'A}{C'B}}=1,

alors les droites AA', BB' et CC' sont concourentes.

Théorème de la bissectrice:

Dans tout triangle ABC:

1) La bissectrice d'un angle intérieur divise le côté opposé en deux segments

proportionnels aux côtés adjacents: A'B/A'C = AB/AC, où A' c'est le point d'intersection

de la bissectrice de l'angle intérieur de A au côté BC.

2) La bissectrice d'un angle extérieur détermine sur la droite qui contient

le côté opposé des segments proportionnels aux côtés adjacents: A"B/A"C = AB/AC,

où A" c'est le point d'intersection de la bissectrice de l'angle extérieur de A à la droite

qui contient le côté BC.

Théorème de Pythagore:

Dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la

somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit:

BC² = AB² + AC².

Théorème du côté de l'angle droit:

Dans tout triangle rectangle un côté de l'angle droit est moyenne proportionnelle

entre l'hypoténuse entière et sa projection sur l'hypoténuse:

AB² = BC·BD, AC² = BC·CD,

où AD c'est la hauteur issue du sommet de l'angle droit A.

Théorème de la hauteur:

Dans tout triangle rectangle la longueur de la hauteur issue du sommet de l'angle droit

est moyenne proportionnelle entre les longueurs des segments qu'elle détermine sur

l'hypoténuse: AD² = BD·DC.

Théorème du cosinus (théorème généralisé de Pythagore):

Dans tout triangle ABC, où BC = a, AB = c et AC = b, tandis que A, B, C représentent

les mesures des angles du même triangle, on a:

• a² = b² + c² - 2bccosA;
• b² = c² + a² - 2cacosB;
• c² = a² + b² - 2abcosC.

Théorème de Stewart:

Etant donné un triangle ABC et un point D, situé sur sa base, entre B et C, alors:

AB²·DC + AC²·BD - AD²·BC = BD·DC·BC.

Relation de Steiner:

Soit le triangle ABC et les points M, N € (BC). Alors les angles MAB et CAN ont même

mesure si et seulement si:

{\frac{MB}{MC}}\cdot{\frac{NB}{NC}}=\frac{{AB}^2}{{AC}^2}.

Théorème de la médiane:

{AD}^{2}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4},

où AD c'est la médiane issue du sommet A dans le triangle ABC, tandis que a, b, c

sont les longueurs des côtés BC, AC, respectivement AB.

Théorème des sinus:

Dans tout triangle ABC, où BC = a, AB = c et AC = b, tandis que A, B, C, R

représentent les mesures des angles, respectivement la longueur du rayon du cercle

circonscris au même triangle, on a:

\frac{a}{\sin{A}}= \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R.

• \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}

et les analogues, obtenues par des permutations circulaires.

• \cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}

  et les analogues, obtenues par des permutations circulaires.

• {tg}{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}

  et les analogues, obtenues par des permutations circulaires.