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Les transformation géométriques du plan (p) sont des fonctions

f:(F) - > (p), F C (p), qui associent à chaque point M€(F) un point

(un seul uniquement) M'€(p): f(M) = M', M' C (p).

En apellant 

"figure géométrique" - l'ensemble F

et sa

"transformée - l'ensemble f(F) = F' (image de la fonction f),

on dit que la fonction f transforme la figure F en la figure F'.

En fonction de la loi de correspondance définie (sintétiquement,

vectorièllement ou analytiquement), la figure F' peut (ou ne peut pas)

être congrue à la figure F, d'une façon pareille (ou non) assise dans le

plan. 

Dans la suite sont présentées les transformations apellées 

translation, symétrie, rotation et homothétie.

TRANSLATION - théorie

Date de la publication: : 15.07.2011

Définition: 

La translation du plan (p), de vecteur v connu, est une fonction bijective

t:(p) - > (p), qui associe à chaque point MЄ(p) un point M'Є(p), apellé

le translaté du point M, tel que vec(MM') = vec(v).

Propriétés:

  • Transforme une droite (un segment) en une droite (un segment).
  • Conserve les directions.
  • Conserve les distances, c'est-à-dire si M et N ont pour images M' et N', alors MN=M'N' (la translation est une isométrie).
  • Conserve les angles orientés.
  • Transforme une figure géométrique en une figure (inversement) congrue.
  • L'ensemble des translations forme par rapport à leur composition (comme l'ensemble des vecteurs face à leur composition) un groupe abélien; les deux groupes sont isomorphes.

Translation d'un point dans un plan:

LA SUITE DE: TRANSLATION - théorie

SYMETRIE AXIALE (par rapport à une droite) - théorie

Date de la publication: : 19.07.2011

Définition:

Si (d) est une droite, la symétrie d'axe (d) est une transformation du plan (p)

dans lui-même, définie par la fonction bijective r:(p) - > (p), telle que l'image

M' d'un point M est:

  • M lui-même, si M est situé sur (d).
  • Le point M' de sorte que (d) soit la médiatrice de [MM'], si M n'est pas un point de la droite (d).

Propriétés:

  • Transforme une droite ( segment) en une droite (segment).
  • Ne conserve pas les directions.
  • Conserve les distances (est une isomètrie).
  • Ne conserve pas les angles orientés. 
  • Transforme une figure géométrique en une figure (inversement) congrue.

Symétrique d'un point:

LA SUITE DE: SYMETRIE AXIALE (par rapport à une droite) - théorie

ROTATION (autour d'un point) - théorie

Date de la publication: : 17.07.2011

La rotation du plan (p), de centre O, apellé centre de rotation, et angle α,

est une fonction bijective r:(p) - > (p), qui associe à chaque point MЄ(p) un point M'Є(p),

tel que OM = OM' et mes(<)MOM') = α.

Deux figures géométriques planes (f) et (f') de (p) sont associées, par une rotation r

(de centre O et angle α), si et seulement si la restriction r:(f) - > (f') est bijective. 

Les propriétés suivantes de la rotation sont évidentes:

  • Transforme une droite (segment) en une droite (segment).
  • Conserve les distances (si M et N ont pour images M' et N', alors MN = M'N'); la translation est, de ce fait, une isométrie.
  • Conserve les angles.
  • Transforme une figure géométrique (f) en une figure géométrique congrue (f').
  • L'ensemble des rotations forme par rapport à leur composition un groupe abélien.

Rotation d'un point dans un plan:

LA SUITE DE: ROTATION (autour d'un point) - théorie

HOMOTHETIE - théorie

Date de la publication: : 20.07.2011

Définition:

Soit un point fixe O et un nombre réel k, non nul.

L'homothétie de centre O et rapport k est une transformation du plan (p),

définie par la fonction bijective h:(p) - > (p), telle que l'image d'un point M du

plan (p) est le point M', de sorte que

\overrightarrow{OM^{\overrightarrow{OM^{'}}={k}\cdot{\overrightarrow{OM}}.

Observations:

  • Pour k = -1, l'homothétie est dite
  • symétrie centrale de centre O.
  • Pour k = 1, l'homothétie est une
  • transformation identique.

Propriétés:

  • Transforme une droite (un segment) en une droite (un segment).
  • Conserve les directions. 
  • Transforme un cercle toujours en un cercle, le rapport des rayons étant égal à la valeur absolue du rapport k de l'homothétie.
  • Ne conserve pas, en général, les distances (si k est le rapport de l'homothétie, les longueurs sont multipliées par |k| et les aires par k²). 
  • Conserve les angles orientés.
  • L'ensemble des homothéties de même centre est un groupe abélien par rapport à la composition des homothéties, isomorphe au groupe abélien des réels non nuls, face à la multiplication. 

Homothétique d'un point:

LA SUITE DE: HOMOTHETIE - théorie

PROBLEME 4

Date de la publication: : 21.07.2011

Support théorique:

Composée transformations géométriques,translation,symétrie,rotation,homothétie,

image vecteur,composition transformations géométriques.

Enoncé:

Dans le plan (p), défini par un repère orthonormé (O,i,j) on donne:

Le vecteur AB (A-origine, B-extrémité), où A(-1;-2) et B(-2;-1), 

la translation t de vecteur v = 2i (i c'est le vecteur unité de l'axe Ox), 

la symétrie d'axe Ox,

la rotation r ayant pour centre I(1;2) et angle (mesuré trigonométriquement) α = 90° 

et

l'homothétie h de centre J(2;2) et rapport k = 2.

Déterminer l'expression analytique de l'image du vecteur AB par la composée

h o r o s o t : (p) - > (p).

Réponse:

(h o r o s o t)(AB) = -2i + 2j.

LA SUITE DE: PROBLEME 4

 

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