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»SIGNE D'UNE PERMUTATION

Date de la publication: : 05 Juin, 2010

THEORIE

On appelle permutation du degré n toute fonction bijective

f:A - > A, où A = {1, 2, 3 , ... ,n}, n nombre naturel non-nul.

L'ensemble de toutes les permutations du degré n ( appellées également des substitutions de degré n ) se note par Sn et, évidemment, le cardinal de cet ensemble est égal à n!.
Une permutation quelconque σ se représente suggestivement sous la forme:

$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&i&\cdots&j&\cdots&n\\{\sigma(1)}&{\sigma(2)}&\cdots&{\sigma(i)}&\cdots&{\sigma(j)}&\cdots&{\sigma(n)}\end{pmatrix}.$ \sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&i&\cdots&j&\cdots&n\\{\sigma(1)}&{\sigma(2)}&\cdots&{\sigma(i)}&\cdots&{\sigma(j)}&\cdots&{\sigma(n)}\end{pmatrix}.

Soit une permutation σ € Sn, i, j éléments de {1, 2, 3, ... ,n},

tels que i < j et σ(i) > σ(j); alors la paire (i, j) s'appelle inversion de la

permutation σ.

Le nombre des inversions de la permutation σ se note par m(σ).

$Le\;nombre\;{\varepsilon(\sigma)}={(-1)}^{m(\sigma)}$ Le\;nombre\;{\varepsilon(\sigma)}={(-1)}^{m(\sigma)}

s'appelle le signe de la permutation σ.

Observation:

La permutation σ s'appelle paire ou impaire selon ε(σ) = + 1, ou ε(σ) = - 1.

Cela étant, il en résulte les pas de l'algorithme pour trouver le signe d'une

permutation:

1) On compte les paires (σ(i), σ(j)), où i < j et σ(i) > σ(j)

du tableau représentatif de la permutation et l'on trouve ainsi le nombre m(σ)

des inversions de celle-ci.

2) On calcule

$\varepsilon(\sigma)=(-1)^{m(\sigma)}$ \varepsilon(\sigma)=(-1)^{m(\sigma)}

et l'on trouve le signe de la permutation (qui c'est, donc, + 1 ou - 1).

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Réponses et commentaires:

Buff

wBtnTrCd, 23.10.2011 17:50

There's a terrific aomunt of knowledge in this article!

Jolyn

YiLKRNaBwGcfnBeJ, 16.09.2011 05:47

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