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Date de la publication: : 08 Juin, 2010

Soit a et b deux nombres entiers, où |a| > |b| ou |a| = |b|, b non-nul.

1) On divise |a| par |b|; si le reste de la division c'est 0, alors b c'est un p.g.d.c. ;

2) Si le reste de la division est différent de 0, on divise |b| au premier reste (le

reste de la division d'en haut) et l'on obtient le deuxième reste;

3) On divise, ensuite, le premier reste au second et l'on obtient un nouveau reste (le

troisième), ainsi de suite;

4) Le dernier reste différent de 0 c'est le p.g.d.c. des deux nombres.

Observations:

a)On en déduit qu'il existe exactement deux et seulement deux entiers ayant la

propriété du p.g.d.c. des nombres a et b, ceux-ci étant des entiers opposés. Celui qui

est non nenegativ se note par (a,b).

b) On en déduit aussi que (a,b) = (b,a) = (-a,b) = (a,-b) = (-a,-b) = (|a|,|b|), par

conséquent le calcul peut se faire toujours sur des nombres naturels.

c) Si le dernier reste non nul c'est 1, alors les nombres sont premiers entre eux.

d) L'algorithme d'Euclide peut etre utilisé aussi pour trouver le p.g.d.c. de

plusieurs nombres, par exemple a,b,c.

On calcule tout d'abord (a,b) = d, après (c,d) = e.

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