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THEORIE

Date de la publication: : 20.09.2011

Il existe un multitude substantielle de systèmes non linéaires (ne pas interpréter d'ici

que tout système, qui n'est pas linéaire, s'appelle non linéaire!), et c'est pour cela que

leur étude systématique est impossible à réaliser. On distingue, tout de même,

quelques types assez souvent rencontrés, leur résolution pouvant être aisément

algorithmisée:

1) Systèmes qui contiennent une équation du second degré et une autre du premier

degré (toutes les deux à deux inconnues), de la forme:

$\begin{cases}y=ax^2+bx+c\\mx+ny+p=0\end{cases}.$ \begin{cases}y=ax^2+bx+c\\mx+ny+p=0\end{cases}.

Pour la résolution, habituellement, on utilise la méthode de la substitution: de la

deuxième équation on calcule une inconnue en fonction de l'autre, ensuite on remplace

sa valeur dans la première équation etc.

Observation:

Les équations représentent une parabole et une droite, donc les éventuelles

solutions réelles du système représentent les coordonnés des points communs des

deux courbes.

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EXERCICE 1

Date de la publication: : 20.09.2011

Support théorique:

Système formé d'une équation du second degré et l'autre du premier degré, méthode

de la substitution, interprétation géométrique.

Enoncé:

Résoudre dans R² le système

$\begin{cases}y=x^2-4x+3\\3x-5y+3=0\end{cases},$ \begin{cases}y=x^2-4x+3\\3x-5y+3=0\end{cases},

et interpréter géométriquement le résultat trouvé.

Réponse:

S = {(4; 3), (3/5 ; 24/25)}.

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EXERCICE 2

Date de la publication: : 20.09.2011

Support théorique:

Système formé de deux équations du second degré, à deux inconnues, équations homogènes, méthode de la substitution.

Enoncé:

Résoudre dans R² le système suivant:

$\begin{cases}2x^2-3xy+y^2=0\\x^2+y^2-xy+x=0\end{cases}.$ \begin{cases}2x^2-3xy+y^2=0\\x^2+y^2-xy+x=0\end{cases}.

Réponse:

S = {(1, 1), (-1, -2), (-2, -2), (2/3, 4/3)}.

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EXERCICE 3

Date de la publication: : 24.09.2011

Support théorique:

Systèmes non linéaires de 2 équations non homogènes du second degré, à 2 inconnues.

Enoncé:

Résoudre dans R² le système suivant:

$\begin{cases}x^2+3xy+y^2=-1\\2x^2+xy-y^2=-4\end{cases}.$ \begin{cases}x^2+3xy+y^2=-1\\2x^2+xy-y^2=-4\end{cases}.

Réponse:

S = {(1;-2), (-1;2)}.

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EXERCICE 4

Date de la publication: : 25.09.2011

Support théorique:

Systèmes symétriques, relations de Viète, équations algébriques,

permutations circulaires.

Enoncé:

Résoudre dans R³ le système:

$\begin{cases}x+y+z=2\\xy+yz+zx=-1\\xyz=-2\end{cases}.$ \begin{cases}x+y+z=2\\xy+yz+zx=-1\\xyz=-2\end{cases}.

Réponse:

S = {(-1,1,2),(-1,2,1),(1,-1,2),(1,2,-1),(2,-1,1),(2,1,-1)}.

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