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Il y a ici les algorithmes (fondés sur les théorèmes de Rouché et

Kronecker-Capelli) utilisés pour l'étude de la compatibilité d'un

système linéaire, formé de m équations à n inconnues et le calcul

des solutions éventuelles.

THEORIE

Date de la publication: : 11.01.2009

Définitions:

1) Soit A = (aij)ЄMmn(C) et les nombres b1,b2,...,bmЄC. 

Le système d'équations de la forme

\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}

s'appelle système linéaire de m équations à n inconnues.

2) La matrice A s'appelle la matrice du système

(ou la matrice des coefficients du système), 

les nombres b1, b2, ... , bs'appellent les termes constants du systeme.

3) La matrice

{B=\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right)}{B=\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right)}

s'appelle la matrice colonne des termes constants et la matrice notée

\bar{A}\;ou\;{A/B},\bar{A}\;ou\;{A/B},

qui s'obtient de la matrice du système par bordage à droite par la colonne

des termes constants, donc égale à:

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 11

Date de la publication: : 19.08.2015

Support théorique:

Systèmes linéaires,progressions arithmétiques.

Enoncé:

On donne le système linéaire:

\begin{cases}x+2y-z=7a-3\\2x-3y+z=-2a\\-x+3y+2z=-5a+5\end{cases}\begin{cases}x+2y-z=7a-3\\2x-3y+z=-2a\\-x+3y+2z=-5a+5\end{cases}  

1) Montrer que pour tout a réel, le système est compatible déterminé et résoudre ensuite.

2) Trouver le paramètre réel a, tel que les composantes de la solution, à savoir x, y et z, soient en progression arithmétique.

Réponse:

1) (x,y,z) = (2a-1,a,-3a+2); 2) a = 1/3. 

LA SUITE DE: EXERCICE 11

EXERCICE 10

Date de la publication: : 27.10.2014

Support théorique:

Equations second degré,systèmes linéaires.

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble RxR l'équation suivante:

2x² + 10y² - 8xy - 4x + 4y + 4 = 0.

Réponse:

S = {(3;1)}.

LA SUITE DE: EXERCICE 10

EXERCICE 9

Date de la publication: : 20.10.2014

Support théorique:

Systèmes linéaires,systèmes compatibles,simplement non-détérminés.

Enoncé:

Trouver le paramètre réel m, tel que le système

\begin{cases}x+y+z=2\\x-y+(m+1)z=0\\-x+my-4z=1\end{cases}\begin{cases}x+y+z=2\\x-y+(m+1)z=0\\-x+my-4z=1\end{cases}

soit compatible simplement non-déterminé. 

Réponse:

m = 2.

LA SUITE DE: EXERCICE 9

EXERCICE 8

Date de la publication: : 20.10.2014

Support théorique:

Calculs sur matrices.

Enoncé:

Résoudre par la voie matricielle le système suivant dans l'ensemble des nombres

complexes:

\begin{cases}2x-y+z=7\\-x+2y-z=-8\\x-y+2z=9\end{cases}.\begin{cases}2x-y+z=7\\-x+2y-z=-8\\x-y+2z=9\end{cases}.

Réponse: 

S = {(1;-2;3)}.

LA SUITE DE: EXERCICE 8

 

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