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THEORIE

Date de la publication: : 03.03.2014

1)\;S_1=1+2+3+\cdots+n=\sum_{k=1}^{k=n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}\;\cdot1)\;S_1=1+2+3+\cdots+n=\sum_{k=1}^{k=n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}\;\cdot

2)\;S_2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\sum_{k=1}^{k=n}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\cdot2)\;S_2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\sum_{k=1}^{k=n}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\cdot

3)\;S_3=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\sum_{k=1}^{k=n}{k^3}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\cdot3)\;S_3=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\sum_{k=1}^{k=n}{k^3}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\cdot

4)\;\sum_{k=0}^{k=n-1}{[x+\frac{k}{n}]=[nx]},\;\forall{x\in{\mathbb{R}}},\;\forall{n\in{\mathbb{N^{*}}}}\cdot4)\;\sum_{k=0}^{k=n-1}{[x+\frac{k}{n}]=[nx]},\;\forall{x\in{\mathbb{R}}},\;\forall{n\in{\mathbb{N^{*}}}}\cdot   (identité de Hermite)

5)\;(a+b)^n=C_n^0a^nb^0+C_n^1a^{n-1}b^1+C_n^2a^{n-2}b^2+\cdots+C_n^ka^{n-k}b^k+\cdots+C_n^na^0b^n=5)\;(a+b)^n=C_n^0a^nb^0+C_n^1a^{n-1}b^1+C_n^2a^{n-2}b^2+\cdots+C_n^ka^{n-k}b^k+\cdots+C_n^na^0b^n=

=\sum_{k=0}^{k=n}{C_n^ka^{n-k}b^k}\cdot=\sum_{k=0}^{k=n}{C_n^ka^{n-k}b^k}\cdot   (binôme de Newton)

6)\;\sum_{k=0}^{k=n}{C_n^k}=C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^k+\cdots+C_n^n=2^n\cdot6)\;\sum_{k=0}^{k=n}{C_n^k}=C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^k+\cdots+C_n^n=2^n\cdot

(cas particulier du binôme de Newton, où a = b = 1) 

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 13

Date de la publication: : 06.11.2014

Support théorique:

Inégalités,sommes,intégrales définies,primitives directes,progressions,équations trigonométriques. 

Enoncé:

Résoudre l'équation: 

\sum_{k=0}^{k=n-1}{\big(\int_0^{sinx}{(k+1)t^k}dt\big)}=\frac{1-sin^nx}{2sinx},\;ou\;{x}\in{(0,\frac{\pi}{2})},\;{t}>{0},\;{n}\in{\mathbb{N^{*}}}.\sum_{k=0}^{k=n-1}{\big(\int_0^{sinx}{(k+1)t^k}dt\big)}=\frac{1-sin^nx}{2sinx},\;ou\;{x}\in{(0,\frac{\pi}{2})},\;{t}>{0},\;{n}\in{\mathbb{N^{*}}}.

Réponse:

x= π/6.

LA SUITE DE: EXERCICE 13

EXERCICE 12

Date de la publication: : 06.11.2014

Support théorique:

Limites de suites,sommes,logarithmes,Weierstrass,fonctions dérivables,Stolz-Cesaro,

l'Hospital.

Enoncé:

Soit les suites (an) et (bn), où nЄN*\{1}, telles que:

a_n=\sum_{i=2}^{i=n}{(\sum_{j=2}^{j=i}{ln(\frac{j}{j-1})})}\;et\;b_n=\frac{a_n}{ln(n+1)!}.a_n=\sum_{i=2}^{i=n}{(\sum_{j=2}^{j=i}{ln(\frac{j}{j-1})})}\;et\;b_n=\frac{a_n}{ln(n+1)!}.

Calculer L = lim(bn).

Réponse:

L = 1.

LA SUITE DE: EXERCICE 12

EXERCICE 11

Date de la publication: : 01.11.2014
Support théorique: 
Sommes trigonométriques,équations trigonométriques,fonctions trigonométriques 
réciproques,identités trigonométriques.
Enoncé:
Résoudre dans l'ensemble des nombres naturels, supérieurs à 1, l'équation:

\sum_{k=1}^{k=x-1}(\arcsin{\frac{1}{k}}+\arccos{\frac{1}{k+1}})=2009\cdot\frac{\pi}{2} +\arcsin{\frac{1}{x}}.\sum_{k=1}^{k=x-1}(\arcsin{\frac{1}{k}}+\arccos{\frac{1}{k+1}})=2009\cdot\frac{\pi}{2} +\arcsin{\frac{1}{x}}.

Réponse:   
x = 2012.
LA SUITE DE: EXERCICE 11

EXERCICE 10

Date de la publication: : 15.10.2014

Support théorique:

Factorisation, somme des puissances.

Enoncé:

Calculer la somme

{S_n} = 5 + 55 + 555 +\cdots +\begin{matrix} \underbrace{555\cdots5 }\\n\end{matrix}{S_n} = 5 + 55 + 555 +\cdots +\begin{matrix} \underbrace{555\cdots5 }\\n\end{matrix}

et, après, vérifier le résultat trouvé en utilisant le raisonnement par récurrence.

Réponse:

S_n=\frac{50(10^n-1)-45n}{81}.S_n=\frac{50(10^n-1)-45n}{81}.

LA SUITE DE: EXERCICE 10

 

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