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»SIGNE D'UNE PERMUTATION

L'étude de la théorie des déterminants (définition du déterminant d'ordre n,

ainsi que leurs propriétés) nécessite l'introduction de la notion de signe d'une

permutation, la connaissance de laquelle est une condition sine qua non aussi

bien que pour aborder avec succès les différents types d'exercices du

domaine des structures algébriques (voir THEORIE).

THEORIE

Date de la publication: : 05.06.2010

On appelle permutation du degré n toute fonction bijective

f:A - > A, où A = {1, 2, 3 , ... ,n}, n nombre naturel non-nul.

L'ensemble de toutes les permutations du degré n ( appellées également des substitutions de degré n ) se note par Sn et, évidemment, le cardinal de cet ensemble est égal à n!.
Une permutation quelconque σ se représente suggestivement sous la forme:

$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&i&\cdots&j&\cdots&n\\{\sigma(1)}&{\sigma(2)}&\cdots&{\sigma(i)}&\cdots&{\sigma(j)}&\cdots&{\sigma(n)}\end{pmatrix}.$ \sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&i&\cdots&j&\cdots&n\\{\sigma(1)}&{\sigma(2)}&\cdots&{\sigma(i)}&\cdots&{\sigma(j)}&\cdots&{\sigma(n)}\end{pmatrix}.

Soit une permutation σ € Sn, i, j éléments de {1, 2, 3, ... ,n},

tels que i < j et σ(i) > σ(j); alors la paire (i, j) s'appelle inversion de la

permutation σ.

Le nombre des inversions de la permutation σ se note par m(σ).

$Le\;nombre\;{\varepsilon(\sigma)}={(-1)}^{m(\sigma)}$ Le\;nombre\;{\varepsilon(\sigma)}={(-1)}^{m(\sigma)}

s'appelle le signe de la permutation σ.

Observation:

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 09.06.2010

Support théorique:

Permutations paires et impaires, nombre d'inversions d'une permutation.

Enoncé:

Préciser la parité de la permutation:

$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&1&4&3\end{pmatrix}.$ \sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&1&4&3\end{pmatrix}.

Réponse:

Permutation impaire.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 05.07.2010

Support théorique:

Le cardinal d'un ensemble, permutations (substitutions) du degré n, permutations paires et impaires, équation aux permutations.

Enoncé:

Calculer le cardinal de l'ensemble:

M = $\{{\sigma}\in{\mathcal{S}}_5|{\sigma}^{2010}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}\}.$ \{{\sigma}\in{\mathcal{S}}_5|{\sigma}^{2010}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}\}.

Réponse:

Card(M) = 0.

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LE ROUMAIN

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EXEMPLE 1

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