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Beaucoup d'exercices et problèmes d'algébre imposent éffectuer la division

d'un polynôme f par (X-a), ou identifier quelques racines d'une équation

algébrique du degré supérieur, y compris leurs ordres de multiplicité.

Evidemment, ces opérations peuvent être effectuées par calcul direct,

quelque fois assez laborieux, mais l'algorithme connu sous le nom de

"schéma de Horner" nous offre une piste beaucoup plus rapide pour

toucher le même objectif.

THEORIE

Date de la publication: : 11.06.2010

Soit un polynôme non-nul, du degré n, aux coefficients dans le champs K

f\in{K[X]},\;f=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\cdots+a_1X+a_{\circ}f\in{K[X]},\;f=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\cdots+a_1X+a_{\circ}

et le polynôme du premier degré g = X-a, gЄK[X].

Selon le théorème de la division au reste du polynôme f par gon obtient les polynômes

q=b_{n-1}X^{n-1}+b_{n-2}X^{n-2}+b_{n-3}X^{n-3}+\cdots+b_1X+b_{\circ}\;et\;r,q=b_{n-1}X^{n-1}+b_{n-2}X^{n-2}+b_{n-3}X^{n-3}+\cdots+b_1X+b_{\circ}\;et\;r,

où q et r sont le quotient, respectivement le reste (évidemment, r est un élément du

champs K, en définitive un polynôme du degré au maximum 0).

Pour l'obtention des coefficients du quotient et du reste, on utilise le schéma pratique

ci-dessous, appellé schéma de Horner:

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 10

Date de la publication: : 05.11.2014

Support théorique:

Intégrales définies,fonction valeur absolue,équations algébriques,schéma de Horner.

Enoncé:

Calculer aЄ(0,1), tel que:

I=\int_0^a{|x^2-a(a+1)x+a^3|}{dx}=\frac{7a^3}{24}.I=\int_0^a{|x^2-a(a+1)x+a^3|}{dx}=\frac{7a^3}{24}.

Réponse:

a = 1/2.

LA SUITE DE: EXERCICE 10

EXERCICE 9

Date de la publication: : 01.11.2014

Support théorique:

Equations algébriques,équations réciproques,équations second degré,schéma Horner.

Enoncé:  

Résoudre dans R l'équation suivante:

x^4+x^3-4x^2+x+1=0.x^4+x^3-4x^2+x+1=0.

Réponse:

S:\;x_1=x_2=1,\;x_3=\frac{-3-\sqrt{5}}{2},\;x_4=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}.S:\;x_1=x_2=1,\;x_3=\frac{-3-\sqrt{5}}{2},\;x_4=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}.

LA SUITE DE: EXERCICE 9

EXERCICE 8

Date de la publication: : 26.10.2014

Support théorique:

Schéma de Horner,équations trigonométriques,équations algébriques.

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation:

5{cos^4}x-{sin^3}x\cdot{cosx}-7{sin^2}x\cdot{cos^2}x+3{sinx}\cdot{cos^3}x+1=0.5{cos^4}x-{sin^3}x\cdot{cosx}-7{sin^2}x\cdot{cos^2}x+3{sinx}\cdot{cos^3}x+1=0.

Réponse:

\mathcal{S}={\begin{Bmatrix}-\frac{\pi}{4}+{k_1}\cdot{\pi}|{k_1}\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}\mathcal{S}={\begin{Bmatrix}-\frac{\pi}{4}+{k_1}\cdot{\pi}|{k_1}\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}} \cup{\begin{Bmatrix}\pm\frac{\pi}{3}+{k_2}\cdot{\pi}|{k_2}\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}\cup{\begin{Bmatrix}\pm\frac{\pi}{3}+{k_2}\cdot{\pi}|{k_2}\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}} \cup{\begin{Bmatrix}{arctg2}+{k_3}\cdot{\pi}|{k_3}\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.\cup{\begin{Bmatrix}{arctg2}+{k_3}\cdot{\pi}|{k_3}\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.

LA SUITE DE: EXERCICE 8

EXERCICE 7

Date de la publication: : 25.10.2014

Support théorique:

Equations algébriques,factorisations,identités remarquables,schéma de Horner.

Enoncé:

Résoudre dans R l'équation algébrique:

2x³ + 9x² + 15x + 9 = 0. 

Réponse:

x = -3/2.

LA SUITE DE: EXERCICE 7

 

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