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Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus. RSS/XML

Cette catégorie comprend des exercices et problèmes

(classe 12-ième/Roumanie) accompagnés des résolutions dans lesquelles

on a glissé délibérémment de différentes erreurs de calcul, on a omis

quelques conditions d'existence, des étapes de raisonnement, ou quelques

cas possibles.

En lisant attentivement "la résolution" proposée, trouvez les erreurs!

                                                                                                                                 

EPREUVE 3

Date de la publication: : 06.07.2013

Support théorique:

Intégrales définies,changements de variables,primitives directes.

Enoncé:

Soit la fonction f:R - > R,

f(x)=\frac{x}{x^4+x^2+1}.f(x)=\frac{x}{x^4+x^2+1}.  

Calculer l'intégrale définie:

\int_{-1}^{0}{f(x)dx}.\int_{-1}^{0}{f(x)dx}.

Résolution érronée:

On utilise le changement de variable défini par x² = tЄ[0;1].

Donc: 

x=\sqrt{t}\;{\Rightarrow}\;{dx=\frac{1}{2\sqrt{t}}}{dt}.x=\sqrt{t}\;{\Rightarrow}\;{dx=\frac{1}{2\sqrt{t}}}{dt}.

Lorsque x = -1 = > t = 1 et quand x = 0 = > t = 0.

Il en résulte:

\int_{-1}^{0}{\frac{x}{x^4+x^2+1}{dx}}=\int_{-1}^{0}{\frac{x}{x^4+x^2+1}{dx}}= \int_{1}^{0}{\frac{\sqrt{t}}{t^2+t+1}}\cdot{\frac{1}{2\sqrt{t}}dt}=\int_{1}^{0}{\frac{\sqrt{t}}{t^2+t+1}}\cdot{\frac{1}{2\sqrt{t}}dt}= {\frac{1}{2}}\cdot\int_{1}^{0}{\frac{1}{t^2+t+1}}dt={\frac{1}{2}}\cdot\int_{1}^{0}{\frac{1}{t^2+t+1}}dt= {\frac{1}{2}}\cdot{\int_{1}^{0}{\frac{1}{{(t+\frac{1}{2})}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}dt}={\frac{1}{2}}\cdot{\int_{1}^{0}{\frac{1}{{(t+\frac{1}{2})}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}dt}=

={\frac{1}{2}}\cdot{\frac{2}{\sqrt{3}}}\cdot{arctg{\frac{t+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}|_{-1}^{0}}=={\frac{1}{2}}\cdot{\frac{2}{\sqrt{3}}}\cdot{arctg{\frac{t+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}|_{-1}^{0}}= \cdots=\frac{{\pi}{\sqrt{3}}}{9}.\cdots=\frac{{\pi}{\sqrt{3}}}{9}.

Le résultat ainsi obtenu est positif, bien que la fonction f soit non-positive sur

l'intervalle [-1;0]!

Où est l'erreur?

LA SUITE DE: EPREUVE 3

EPREUVE 2

Date de la publication: : 16.12.2009

Support théorique:

Systèmes linéaires,classes résiduelles,modulo 6,anneaux,diviseurs de zéro.

Enoncé:

Résoudre le système

\begin{cases}{\hat{4}}x+{\hat{2}}y={\hat{2}}\\x+{\hat{3}}y={\hat{0}}\end{cases}\begin{cases}{\hat{4}}x+{\hat{2}}y={\hat{2}}\\x+{\hat{3}}y={\hat{0}}\end{cases}

défini sur Z6 (l'ensemble des classes résiduelles modulo 6).

Résolution erronée:

On simplifie la première équation par \hat{2}\hat{2}

et l'on obtient le système 

\begin{cases}\hat{2}x+y=\hat{1}\\x+\hat{3}y=\hat{0}\end{cases}\begin{cases}\hat{2}x+y=\hat{1}\\x+\hat{3}y=\hat{0}\end{cases}  \Leftrightarrow\Leftrightarrow \begin{cases}y=\hat{1}-\hat{2}x\\x+\hat{3}y=\hat{0}\end{cases}\begin{cases}y=\hat{1}-\hat{2}x\\x+\hat{3}y=\hat{0}\end{cases}

En utilisant la métode de la substitution on trouve immédiatement

x=\hat{3}\;apres\;y=\hat{1}.x=\hat{3}\;apres\;y=\hat{1}.

Mais on constate, aisément, que la paire 

(\hat{0},\;\hat{4})(\hat{0},\;\hat{4})

est aussi une solution!

Où c'est l'erreur?

LA SUITE DE: EPREUVE 2

EPREUVE 1

Date de la publication: : 14.12.2009

Support théorique:

Valeur absolue,nombres réels,équation aux modules,schéma de Horner.

Enoncé: 

Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation suivante:

x^4-6|x|^3+3x^2+26|x|-24=0.x^4-6|x|^3+3x^2+26|x|-24=0.

Résolution:

En notant |x|= t, l'équation devient:

t^4-6t^3+3t^2+26t-24=0.t^4-6t^3+3t^2+26t-24=0.

En utilisant, par exemple, le schéma de Horner, on obtient les racines 1, -2, 3, 4 et,

finalement, l'équation initiale a pour solution S = {-4, -3, -1, 1, 3, 4}; mais une

équation du quatrième degré, munie de 6 racines, a l'air d'une contradiction!!!

Où c'est l'erreur

LA SUITE DE: EPREUVE 1

 

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