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Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus. RSS/XML

Cette catégorie comprend des exercices et problèmes

(10-ième classe/Roumanie) accompagnés des résolutions dans lesquelles

on a glissé délibérémment de différentes erreurs de calcul, on a omis

quelques conditions d'existence, des étapes de raisonnement, ou

quelques cas possibles.

En lisant attentivement "la résolution" proposée, trouvez les erreurs! 

                                                                                                             

 

 

 

EPREUVE 6

Date de la publication: : 12.02.2014

Support théorique:

Equations trigonométriques,identités trigonométriques,équations second degré.

Enoncé:

Résoudre l'équation trigonométrique: sinx + sin2x - sin3x = 0.

Résolution erronée:

En utilisant des identités trigonométriques connues, l'équation peut être écrite,

successivement, de la façon suivante:

sinx + 2sinx·cosx - 3sinx + 4sin³x = 0 < = > 1 + 2cosx - 3 + 4sin²x = 0 < =>

< = > 4(1 - cos²x) + 2cosx - 2 = 0 < = > 2cos²x - cosx - 1 = 0.

En notant cosx = yЄ[-1;+1], on obtient l'équation du second degré 

2y² - y - 1 = 0, ayant pour solutions  y1 = - 1/2 et y= 1.

Il en résulte les équations trigonométriques élémentaires

cosx = - 1/2 et cosx = 1, dont les solutions sont 

S1 = ±arccos(-1/2) + 2k1π, respectivement S2 = 2k2π,

donc la solution finale c'est

S = S1US= {±2π/3+2k1π|k1ЄZ}U{2k2π|k2ЄZ}.

On peut facilement vérifier que l'équation admet aussi d'autres solutions,

par exemple x = π, ou x = 3π etc...

Où c'est l'erreur?

LA SUITE DE: EPREUVE 6

EPREUVE 5

Date de la publication: : 13.05.2011

Support théorique:

Radicaux,fonction arcsin,inéquations trigonométriques.

Enoncé:

Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'inéquation trigonométrique:

\sqrt[3]{{arcsinx}-\pi}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}}.\sqrt[3]{{arcsinx}-\pi}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}}.

Résolution erronée:

\sqrt[3]{{arcsinx}-\pi}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}}\sqrt[3]{{arcsinx}-\pi}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}} <=> \sqrt[6]{({{arcsinx}-{\pi})^2}}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}}\sqrt[6]{({{arcsinx}-{\pi})^2}}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}} <=> ...

<=> (arcsinx)·(arcsinx-2π-1) > 0 <=>  arcsinx < 0

(parce que, évidemment, arcsinx-2π-1 < 0, pour tout x de l'intervalle (-1,+1)),

donc, la solution c'est: xЄ(-1;0).

Mais on constate que pour x = -(1/2)Є(-1;0), l'inéquation n'est pas vérifiée ... 

(un nombre négatif n'est pas plus grand qu'un nombre positif !)

Où c'est l'erreur ?

LA SUITE DE: EPREUVE 5

EPREUVE 4

Date de la publication: : 22.11.2009

Support théorique:

Périodicité,fonctions trigonométriques.

Enoncé:

Montrer que la fonction

f:R - > R, f(x) = 2sin3x + 3cos2x 

est périodique et préciser la période principale Tp

Résolution erronée:

Soit T > 0, tel que f(x+T) = f(x), pour tout x réel, où T est la période générale;

il en résulte:

2sin(3x+3T) + 3cos(2x+2T) = 2sin3x + 3cos2x, pour tout x reel.

Pour x = 0 et x = π, on obtient

2sin3T + 3cos2T = 3 et - 2sin3T + 3cos2T = 3.

On en déduit immédiatement que:

cos2T = 1 et, d'ici T = kπ, kЄN*.

Mais on constate que pour k = 3, (par exemple), T = 3π, et

f(x+3π) = 2sin3(x+3π) + 3cos2(x+3π) = 2sin(3x+9π) + 3cos(2x+6π) =

= -2sin3x + 3cos2x ≠ f(x), donc le résultat trouvé c'est faux !

Où c'est l'erreur?

LA SUITE DE: EPREUVE 4

EPREUVE 3

Date de la publication: : 22.11.2009

Support théorique:

Nombres réels,relation ordre,nombres complexes

Enoncé:

Soit les équivalences:

2 > 0, vraie <= > 1 + 1 > 0 < = > 1 > -1 <= >  i⁴ > i² <=> i² > 1 ( on a simplifié par i)

< = >  -1 > 1, faux.

Où c'est l'erreur?

LA SUITE DE: EPREUVE 3

EPREUVE 2

Date de la publication: : 22.11.2009

Support théorique:

Inéquations,logarithmes.

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble des réels l'inéquation:

lg(x²+1) - lg(x²-1) > 1.

Résolution erronée:

{lg(x^2+1)-lg(x^2-1)>1}{lg(x^2+1)-lg(x^2-1)>1} <=> {lg{\frac{x^2+1}{x^2-1}}>lg{10}}{lg{\frac{x^2+1}{x^2-1}}>lg{10}} <=> {\frac{x^2+1}{x^2-1}>10}{\frac{x^2+1}{x^2-1}>10} <=> {x^2+1>10x^2-10}{x^2+1>10x^2-10} <=> ...

<=> {x^2}<\frac{11}{9}{x^2}<\frac{11}{9}  <=> x<{\frac{\sqrt{11}}{3}}x<{\frac{\sqrt{11}}{3}} <=> x\in{(-\infty,\frac{\sqrt{11}}{3})}.x\in{(-\infty,\frac{\sqrt{11}}{3})}.

Mais on peut, aisément, constater que x = -2 ne convient pas!

Où sont les erreurs?

LA SUITE DE: EPREUVE 2

 

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