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»RESOLUTION DES SYSTEMES LINEAIRES (Rouché)

Le théorème de Rouché nous présente les conditions nécessaires et

suffisantes pour la compatibilité d'un système d'équations linéaires aux

coefficients dans un corps commutatif, d'où il résulte aussi l'algorithme pour

trouver les solutions, lorsqu'elles existent.

THEORIE

Date de la publication: : 27.06.2010

Définitions:

Soit A = (aij) dans Mmn(C) et les nombres b1, b2, ... , bm dans C.

Le système d'équations de la forme

$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$ \begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}

s'appelle système linéaire de m équations à n inconnues.

La matrice A s'appelle la matrice du systeme (ou la matrice des coefficients du

systeme), les nombres b1, b2, ... , bm s'appellent les termes constants du systeme,

la matrice

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 28.06.2010

Support théorique:

Système d'équations linéaires, théorème de Rouché, mineur principal, équations principales, inconnue secondaire, mineurs caractéristiques, système compatible simplement indéterminé.

Enoncé:

Montrer que le système suivant est compatible et puis le résoudre:

$\begin{cases}x-2y-3z=-1\\x+y=2\\-x+2y+3z=1\\2x-y-3z=1\end{cases}.$ \begin{cases}x-2y-3z=-1\\x+y=2\\-x+2y+3z=1\\2x-y-3z=1\end{cases}.

Réponse:

S = {(1 + α,1 - α, α)|α € R}.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 07.07.2010

Support théorique:

Classes résiduelles modulo n, systèmes d'équations linéaires, théorème de Rouché, mineur principal, rang d'une matrice, mineur caractéristique, règle de Cramer.

Enoncé:

Déterminer le nombre des solutions du système suivant, défini sur l'ensemble des

classes résiduelles modulo 5, en utilisant le théorème de Rouché:

$\begin{cases}\hat{2}x+y+\hat{4}z=\hat{1}\\x+\hat{3}y+z=\hat{4}\\\hat{3}x-y=\hat{0}\end{cases}.$ \begin{cases}\hat{2}x+y+\hat{4}z=\hat{1}\\x+\hat{3}y+z=\hat{4}\\\hat{3}x-y=\hat{0}\end{cases}.

Réponse:

5 solutions.

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LE ROUMAIN

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