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THEORIE

Date de la publication: : 21.09.2012

Théorème de la division au reste dans l'ensemble des polynômes ayant les coefficients dans un anneau commutatif (A,+,·):

Etant donné un polynôme g, dont le coefficient dominant est inversible dans

l'anneau (A,+,·), pour tout polynôme fЄA[X] (lire "polynôme f aux coefficients dans

l'anneau A et indéterminée X"), il existe les polynômes uniques q,rЄA[X], tels que

f = g·q + r et grad(r) < grad(g).

Observations:

  • Le polynôme f s'appelle le dividende, g - le diviseur, q - le quotient et r - le reste.
  • Evidemment, dans le théorème on peut aussi avoir A = K, où K est corps commutatif (champs) et g est différent du polynôme nul. Les cas particuliers le plus souvent rencontrés sont ceux où K = C, K = R, K = Q, K = Zp, p - premier (le corps des classes résiduelles modulo p, p premier), ou pour fЄZ[X] (f est un polynôme aux coefficients entiers et l'indéterminée X), si g est non nul et son coefficient dominant c'est +1 ou -1, les seuls éléments inversibles de l'anneau (Z,+,·).
  • Si r = 0, c'est-à-dire si f = g·q, on dit que le polynôme g est un diviseur de f, (ou que g divise f et l'on écrit g|f), ou que f est un multiple de g (ou que f se divise par g).
  • Téorème du reste:

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 8

Date de la publication: : 15.10.2014

Support théorique:

Divisibilté des polynômes,paramètres réels.

Enoncé:

Trouver α,βЄR, tels que le polynôme

f=(X-1)^{8n+2}-X{(X-1)}^{4n+1}+{\alpha}X+\betaf=(X-1)^{8n+2}-X{(X-1)}^{4n+1}+{\alpha}X+\beta

soit divisible par le polynôme

g = X³ - 4X² + 6X - 4.

Réponse: 

α = 1; β = -1.

LA SUITE DE: EXERCICE 8

EXERCICE 7

Date de la publication: : 14.10.2014

Support théorique:

Polynômes coefficients entiers,divisibilité des polynômes.

Enoncé:

Montrer que le polynôme fЄZ[X], 

f=(X-1)^{12n^2+6n+2}-X+2,f=(X-1)^{12n^2+6n+2}-X+2,

est divisible par le polynôme

gЄZ[X], g = X² - 3X + 3.

LA SUITE DE: EXERCICE 7

EXERCICE 6

Date de la publication: : 14.10.2014

Support théorique:

Polynômes coefficients entiers,divisibilité des polynômes.

Enoncé:

Soit les polynômes f,gЄZ[X], où:

f = X³ + X² - mX + n

et

g = X³ - X² + nX - m.

Trouver m et n, en sachant que les polynômes f et g admettent pour diviseur commun

le polynôme

hЄZ[X], h = X - α.

Réponse:

m = n = 0.

LA SUITE DE: EXERCICE 6

EXERCICE 5

Date de la publication: : 14.10.2014

Support théorique:

Polynômes coefficients complexes,divisibilité des polynômes.

Enoncé:

Trouver les paramètres a et b, tels que le polynôme

f\in{\mathbb{C}}[X],\;f(x)=X^4+2X^3+(3+i)X^2+ax+bf\in{\mathbb{C}}[X],\;f(x)=X^4+2X^3+(3+i)X^2+ax+b

soit divisible par le polynôme

g = X² + X + 1. 

Réponse:

a = 2 + i, b = 1 + i.

LA SUITE DE: EXERCICE 5

 

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