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THEORIE

Date de la publication: : 24.05.2014

Cas I-er: 0/0. 

Soit les fonctions f,g:I - > R, où I est un intervalle dans R et a est un point d'accumulation de celui-ci. Si:

1)\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)}=0\;et1)\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)}=0\;et

2)\;f\;et\;g\;sont\; derivables\; sur2)\;f\;et\;g\;sont\; derivables\; sur I-\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}\;etI-\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}\;et

3)\;g(x)\neq{0},3)\;g(x)\neq{0}, \forall{x}\in{{I}-\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}}\;et\forall{x}\in{{I}-\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}}\;et

4)\;{g^{4)\;{g^{'}}(x)\neq{0},\forall{x}\in{{I}-\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}}\;et

5)\;\exists\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{5)\;\exists\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{'}}(x)}{{{g}^{'}}(x)}\in{\bar{\mathbb{R}}}},

alors la fonction f/g a une limite en x = a et:

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 10

Date de la publication: : 05.11.2014

Support théorique:

Limites de fonctions,intégrales définies,règle L'Hôpital,arctangente,logarithme naturel.

Enoncé:

Soit les fonctions:

f,g:[e,+oo) - > R,

f(t) = arctg(lnt),

g(t) = ln(arctgt).

Calculer: 

L=lim_{x\searrow{e}}{\frac{\int_e^x{f(t)dt}}{\int_e^x{g(t)dt}}}.L=lim_{x\searrow{e}}{\frac{\int_e^x{f(t)dt}}{\int_e^x{g(t)dt}}}.

Réponse:

L=\frac{\pi}{4ln[(arctg(e)]}.L=\frac{\pi}{4ln[(arctg(e)]}.

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EXERCICE 9

Date de la publication: : 04.11.2014

Support théorique:

Limites de fonctions,cas exceptés,règles de l'Hôspital.

Enoncé:

Calculer:

L=\lim_{x\rightarrow{2}}\frac{{x}^{4}-5{x}^{3}+6{x}^{2} +4x-8}{{x}^{4}-7{x}^{3} +18{x}^{2 }- 20x+8}.L=\lim_{x\rightarrow{2}}\frac{{x}^{4}-5{x}^{3}+6{x}^{2} +4x-8}{{x}^{4}-7{x}^{3} +18{x}^{2 }- 20x+8}.

Réponse: 

L = 3.

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EXERCICE 8

Date de la publication: : 04.11.2014

Suport teoretic:

Prolongement par continuité,limites latérales,règle de l'Hôspital.

Enoncé:

Déterminer le prolongement par continuité au point x = π/2 de la fonction:

f:{(0,\frac{\pi}{2})}\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)={(\sin{x})}^{\ln{(tgx)}}.f:{(0,\frac{\pi}{2})}\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)={(\sin{x})}^{\ln{(tgx)}}.

Réponse: 

\tilde{f}:{(0,\frac{\pi}{2}]}\rightarrow{\mathbb{R}},\tilde{f}(x)=\begin{cases}f(x),x\in(0,\frac{\pi}{2})\\1,x=\frac{\pi}{2}\end{cases}.\tilde{f}:{(0,\frac{\pi}{2}]}\rightarrow{\mathbb{R}},\tilde{f}(x)=\begin{cases}f(x),x\in(0,\frac{\pi}{2})\\1,x=\frac{\pi}{2}\end{cases}.

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EXERCICE 7

Date de la publication: : 02.11.2014

Support théorique:

Limites de suites,limites de fonctions,intégrales définies,primitives,définition de la dérivée,

règle de l'Hôpital.

Enoncé:

Calculer:

L=\lim_{x\rightarrow{\infty}}[\lim_{n\rightarrow{\infty}}L=\lim_{x\rightarrow{\infty}}[\lim_{n\rightarrow{\infty}} ({n}\cdot{\int_{-x}^{x+\frac{1}{n}}{\frac{t}{e^{t^2}}{dt}})].}({n}\cdot{\int_{-x}^{x+\frac{1}{n}}{\frac{t}{e^{t^2}}{dt}})].}

Réponse:

L = 0.

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