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Un algorithme fréquement utilisé pour la démonstration des propositions 

qui dépendent de la suite des nombres naturels, est celui du raisonnement

par récurrence:

La démonstration en utilisant le raisonnement par récurrence pourrait se

faire sous l'une des formes suivantes:

 

THEORIE

Date de la publication: : 11.12.2010

VARIANTE I :

On donne une propositon P(n) et l'on demande la démonstration de sa vérité pour

tout nombre naturel n  m.

La démonstration nécessite à effectuer deux pas, à savoir:

 I) Etape de la vérification:

On vérifie si P(m) est bien une proposition vraie.

II) Etape de la démonstration de l'implication: 

P(k) => P(k+1), pour tout k  m.

Si toutes les deux étapes sont validées

(c'est-à-dire  "P(m)"  et  "P(k) = > P(k+1)" sont des propositions vraies),

alors la proposition P(n) est vraie, quel que soit n ≥ m, conformément au principe

du raisonnement par récurrence.

En effet, si dans I) on a constaté que P(m) est vraie, selon II) 

on aura P(m+1) est vraie , il en est de même pour P(m+2), ainsi de suite ...

VARIANTE II :

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 17

Date de la publication: : 12.10.2017

Support théorique:

Raisonnement par récurrence,inégalités,calculs abrégés. 

Enoncé:

Démontrer par récurrence l'inégalité

{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{n}{n+1}}\leq{\frac{n^2}{n+1}}\;,{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{n}{n+1}}\leq{\frac{n^2}{n+1}}\;,  

pour tout n naturel non nul.

LA SUITE DE: EXERCICE 17

EXERCICE 16

Date de la publication: : 06.11.2014

Support théorique:

Opérations matrices,terme général suite,raisonnement par récurrence.

Enoncé:

Calculer:

A^n,\;ou\;A=\begin{pmatrix}1&-2\\2&-3\end{pmatrix},\;n\in{\mathbb{R^*}}.A^n,\;ou\;A=\begin{pmatrix}1&-2\\2&-3\end{pmatrix},\;n\in{\mathbb{R^*}}.

Réponse:

A^n={(-1)^n}\cdot{\begin{pmatrix}(-2n+1)&2n\\-2n&(2n+1)\end{pmatrix}},\;ou\;n\in{\mathbb{N^*}}.A^n={(-1)^n}\cdot{\begin{pmatrix}(-2n+1)&2n\\-2n&(2n+1)\end{pmatrix}},\;ou\;n\in{\mathbb{N^*}}.

LA SUITE DE: EXERCICE 16

EXERCICE 15

Date de la publication: : 06.11.2014

Support théorique:

Opérations sur matrices,raisonnement par récurrence,progressions géométriques.

Enoncé: 

On donne la matrice: 

A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}.A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}.

Calculer:

S=\sum_{k=0}^{k=n}{{A}^{2k+1}}.S=\sum_{k=0}^{k=n}{{A}^{2k+1}}.  

Réponse:

S={\frac{3^{n+1}-1}{2}}\cdot{A}.S={\frac{3^{n+1}-1}{2}}\cdot{A}.

LA SUITE DE: EXERCICE 15

EXERCICE 14

Date de la publication: : 24.10.2014

Support théorique:

Raisonnement par récurrence,calcul matrices carées.

Enoncé:

On donne la matrice:

A=\begin{pmatrix}i&-i\\-i&i\end{pmatrix},\;ou\;i^2=-1.A=\begin{pmatrix}i&-i\\-i&i\end{pmatrix},\;ou\;i^2=-1.

Démontrer, à l'aide du raisonnement par récurrence, que:

A^n={{(2i)}^{n-1}}\cdot{A},\;\forall{n\in{\mathbb{N^*}}}A^n={{(2i)}^{n-1}}\cdot{A},\;\forall{n\in{\mathbb{N^*}}}

LA SUITE DE: EXERCICE 14

 

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