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Date de la publication: : 15 Juin, 2011

Support théorique:

Polynôme aux coefficient réels, relations de Viète.

Enoncé:

Soit le polynôme f € R[X], f = Χ³ - mΧ² + 3mX - m.

Trouver le paramètre m, tel que x1³ + x2³ + x3³ > - 5, où xk, k € {1, 2, 3}, sont

les trois racines du polynôme f.

Réponse:

$m\in{(4-\sqrt{21},1)\cup(4+\sqrt{21},+\infty)}.$ m\in{(4-\sqrt{21},1)\cup(4+\sqrt{21},+\infty)}.

Résolution:

En utlisant l'identité remarquable

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca),

ainsi que les relations de Viète, on trouve aisément:

x1³ + x2³ + x3³ = m³ - 9m² + 3m,

donc il faut résoudre l'inéquation

m³ - 9m² + 3m + 5 > 0 < = > ... < = > (m - 1)(m² - 8m - 5) > 0.

A l'aide de la table des signes des deux facteurs ci-dessus, on trouve la solution de

l'inéquation.

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