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Comme toutes les opérations inverses, l'opération de la recherche des

primitives, l'inverse de la dérivation, produit un certain malaise au

moins dans l'étape d'abord initial de celle-ci.

Il est nécéssaire (mais pas aussi suffisante!) la connaissance avec

exactitude des tous les aspects  théoriques et des formules et techniques 

sur le calcul des primitives des fonctions lorsqu'elles existent!),

présentés par la suite:

THEORIE

Date de la publication: : 02.04.2011

Définition:

Une fonction f:I - > R,où I est un intervalle, est primitivable sur I,

s'il existe une fonction F:I - > R, dérivable sur I et F'(x) = f(x), pour tout xЄI;

la fonction F s'appelle une primitive de la fonction f et, évidemment, dans ce cas-là,

il existe une infinité de primitives de la fonction f, qui se note \int{f(x)dx},\int{f(x)dx},

ensemble qui s'appelle l'intégrale non-définie de la fonction f:

\int{f(x)}{dx}=\{F|F:{I}\rightarrow{R}\}\int{f(x)}{dx}=\{F|F:{I}\rightarrow{R}\}

où F est une primitive de la fonction f.

Si la fonction f:I - > R admet une primitive F, alors

\int{f(x)dx}= F +\mathcal{C},\int{f(x)dx}= F +\mathcal{C},

C = {f|f:I - > R, f(x) = cЄR, xЄI}, c'est l'ensemble de toutes les fonctions constantes,

définies sur I.

Primitives usuelles:

1)\;\int{x}^{n}{dx} =\frac{{x}^{n+1}}{n+1} +\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}},\forall{n}\in{\mathbb{N}}1)\;\int{x}^{n}{dx} =\frac{{x}^{n+1}}{n+1} +\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}},\forall{n}\in{\mathbb{N}} \Rightarrow \int{1}\cdot{dx} = x +\mathcal{C}, {x}\in{\mathbb{R}}.\Rightarrow \int{1}\cdot{dx} = x +\mathcal{C}, {x}\in{\mathbb{R}}.

2)\;\int{x}^{\alpha}{dx} = \frac{{x}^{\alpha+1}}{\alpha+1} +\mathcal{C}2)\;\int{x}^{\alpha}{dx} = \frac{{x}^{\alpha+1}}{\alpha+1} +\mathcal{C} , {x}\in{I\subset(o,\infty)},\forall{\alpha\in{\mathbb{R}}}\setminus{\begin{Bmatrix}-1\end{Bmatrix}}.{x}\in{I\subset(o,\infty)},\forall{\alpha\in{\mathbb{R}}}\setminus{\begin{Bmatrix}-1\end{Bmatrix}}.

3)\;\int\frac{1}{x}{dx}=\ln{|x|}+\mathcal{C}3)\;\int\frac{1}{x}{dx}=\ln{|x|}+\mathcal{C} , {x}\in{I\subset(0,\infty)},{ou}\,{x}\in{I\subset(-\infty,0)}.{x}\in{I\subset(0,\infty)},{ou}\,{x}\in{I\subset(-\infty,0)}.

4)\; \int{a}^{x}{dx}=\frac{{a}^{x}}{\ln{a}}+\mathcal{C},4)\; \int{a}^{x}{dx}=\frac{{a}^{x}}{\ln{a}}+\mathcal{C}, {x}\in{\mathbb{R}},{a>0},a\neq{1}\Rightarrow \int{e}^{x}{dx}={e}^{x}+\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}}.{x}\in{\mathbb{R}},{a>0},a\neq{1}\Rightarrow \int{e}^{x}{dx}={e}^{x}+\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}}.

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 18

Date de la publication: : 05.08.2016

Support théorique:

Intégrales non-définies,primitives,intégration par parties .

Enoncé:

Calculer toutes les primitives de la fonction f:(1,oo) - > R, définie par la loi :

f(x)=\frac{x^2}{(x^2-1)^2}\;.f(x)=\frac{x^2}{(x^2-1)^2}\;.

Réponse:

F(x)=(-\frac{1}{2})\cdot(\frac{x}{x^2-1}-{\frac{1}{2}}\cdot{ln{\frac{x-1}{x+1}})}+\mathcal{C}\;.F(x)=(-\frac{1}{2})\cdot(\frac{x}{x^2-1}-{\frac{1}{2}}\cdot{ln{\frac{x-1}{x+1}})}+\mathcal{C}\;.   

LA SUITE DE: EXERCICE 18

EXERCICE 17

Date de la publication: : 04.11.2015

Support théorique:

Primitives,intégration par parties,fonctions dérivées. 

Enoncé:

Calculer: 

I=\int{xsin^2x}dx.I=\int{xsin^2x}dx.  

Réponse: 

I=\frac{x^2}{2}sin^2x+\frac{1}{4}x^2cos2x-\frac{1}{4}xsin2x-\frac{1}{8}cos2x+\mathcal{C}.I=\frac{x^2}{2}sin^2x+\frac{1}{4}x^2cos2x-\frac{1}{4}xsin2x-\frac{1}{8}cos2x+\mathcal{C}.  

LA SUITE DE: EXERCICE 17

EXERCICE 16

Date de la publication: : 04.11.2014

Support théorique:

Calcul de primitives,fonctions continues,identités trigonométriques,intégration par parties.

Enoncé:

Calculer l'ensemble des primitives de la fonction

f:R - > R, f(x) = x³sin²x.

Réponse:

\int{x^3}{{sin}^2}{xdx}=\int{x^3}{{sin}^2}{xdx}= {\frac{1}{16}}(2{x^4}-4{x^3}{sin2x}-6{x^2}{cos2x}+{6x}{sin2x}+3{cos2x})+\mathcal{C}.{\frac{1}{16}}(2{x^4}-4{x^3}{sin2x}-6{x^2}{cos2x}+{6x}{sin2x}+3{cos2x})+\mathcal{C}.

LA SUITE DE: EXERCICE 16

EXERCICE 15

Date de la publication: : 03.11.2014

Support théorique:

Calcul de primitives.

Enoncé:

Soit la fonction

f:(-2;2) - > R, f(x) = (x²+x+1)/(x³-x²-x-2).

Résoudre l'inéquation

F(x) > ln(4-x²),

où F c'est la primitive de f, ayant la propriété:

F(1/e) = ln(2e-1).

Réponse: 

x
Є(-2;e-2).

LA SUITE DE: EXERCICE 15

 

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