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La maitrise approfondie des proprietés et des opérations portées sur

des polynômes aux coefficients réels (entiers, rationnels, irrationnels)

présente une importance majeure pour s'attaquer (avec chance de

réussite) à une multitude de types d'exercices et problèmes sur les

fonctions polynômiales, les équations et les inéquations algébriques

(ou réductibles à celles-ci), dans le cas des coefficients réels.   

THEORIE

Date de la publication: : 22.07.2010

Polynômes aux coefficients réels:

Soit fЄR[X] et z = a + bi une racine complexe non-réelle de f; alors

\bar{z}=a-bi\bar{z}=a-bi est une racine de f, ayant le même ordre de multiplicité

que z.

Conséquences:

  • Le nombre des racines complexes non-réelles d'un polynôme

aux coefficients réels est un nombre pair;

  • Tout polynôme aux coefficients réels, de degré impaire, admet,

au moins, une racine réelle;

  • Tout polynôme aux coefficients réels, de degré n plus grand ou

égal à 1, est un produit de polynômes de degré I ou degré II, aux

coefficients réels.

Polinômes aux coefficients rationnels:

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 13

Date de la publication: : 28.05.2016

Support théorique:

Polynômes aux coeficients réels,racines réelles,racines complexes non-réelles,partie entière,rôle de la dérivée première,fonctions monotones,variation d'une fonction. 

Enoncé:

Soit le polynôme f = 2X³ - 9X² + 12X + 1.

a) Montrer qu'il admet des racines complexes non-réelles.

b) Déterminer la partie entière de la racine réelle. 

Réponse: 

b) [x0] = -1.

LA SUITE DE: EXERCICE 13

EXERCICE 12

Date de la publication: : 13.02.2016

Support théorique:

Polynômes coefficients réels,moyenne harmonique,points critiques,suite de Rolle,relations de Viète,schéma de Horner.

Enoncé:

Soit le polynôme

fЄR[X], f = X³ - 6X² + 11X - m,

a) Trouver mЄR, tel que toutes ses racines soient réelles, positives et

distinctes.

b) Compte tenu de a), résoudre l'équation f(x) = 0, étant donné le fait que

la moyenne harmonique des racines est égale à 18/11.

Réponse: 

a)\;m\in{(\frac{2(27-\sqrt{3})}{9};\frac{2(27+\sqrt{3})}{9})}\cdota)\;m\in{(\frac{2(27-\sqrt{3})}{9};\frac{2(27+\sqrt{3})}{9})}\cdot

b) m = 6 ; S = {{1;2;3)}

LA SUITE DE: EXERCICE 12

EXERCICE 11

Date de la publication: : 06.11.2014

Support theorique:

Equations algébriques,polynômes aux coefficients entiers,fonctions polynômiales,

nombres irrationnaux,nombres complexes non-réells,dérivée première,factorisations.

Enoncé:

Soit le polynôme aux coefficients entiers

f=X^4-X^3-2X^2+3X-3.f=X^4-X^3-2X^2+3X-3.

a) Démontrer que l'équation algébrique f(x) = 0 admet exactement 2 racines

réelles, à savoir 2 nombres irrationnaux distincts.

b) Résoudre dans C l'équation algébrique f(x) = 0.

Réponse:

b)\;S=\{\pm{\sqrt{3}};\frac{1\pm{i}{\sqrt{3}}}{2}\}.b)\;S=\{\pm{\sqrt{3}};\frac{1\pm{i}{\sqrt{3}}}{2}\}.

LA SUITE DE: EXERCICE 11

EXERCICE 10

Date de la publication: : 01.11.2014

Support théorique: 

Equations trigonométriques,équations algébriques,théorème Bézout

Enoncé:

Résoudre, dans l'ensemble des réels, l'équation: 
2{{\cos}^4}{x}-(1+2{\pi}){{\cos}^3}{x}-(2-\pi){{\cos}^2}{x}+(1+2{\pi}){\cos}{x}-\pi=0.2{{\cos}^4}{x}-(1+2{\pi}){{\cos}^3}{x}-(2-\pi){{\cos}^2}{x}+(1+2{\pi}){\cos}{x}-\pi=0. 
Réponse: 
S=\{k{\pi}|k\in{\mathbb{Z}}\}S=\{k{\pi}|k\in{\mathbb{Z}}\} \cup\cup \{{\pm}{\frac{\pi}{3}}+2k{\pi}|k\in{\mathbb{Z}}\}.\{{\pm}{\frac{\pi}{3}}+2k{\pi}|k\in{\mathbb{Z}}\}. 

 

LA SUITE DE: EXERCICE 10

 

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