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La maitrise approfondie des proprietés et des opérations portées sur des polynomes aux coefficients réels (entiers, rationnels, irrationnels) présente une importance majeure pour s'attaquer (avec chanse de réussite) à une multitude de types d'exercices et problèmes sur les fonctions polynomiales, les équations et les inéquations algébriques (ou réductibles à celles-ci), dans le cas des coefficients réels.
THEORIE
Date de la publication: : 22.07.2010Polynômes aux coefficients réels:
Soit f un polynôme dans R[X] et z = a + bi une racine complexe non-réelle de f; alors
est une racine de f, ayant le même ordre de multiplicité que z.
Conséquences:
- Le nombre des racines complexes non-réelles d'un polynôme aux coefficients réels
est un nombre pair;
- Tout polynôme aux coefficients réels, de degré impaire, admet, au moins, une
racine réelle;
- Tout polynôme aux coefficients réels, de degré n plus grand ou égal à 1, est un
produit de polynômes de degré I ou degré II, aux coefficients réels.
Polinômes aux coefficients rationnels:
EXEMPLE 1
Date de la publication: : 17.08.2010Support théorique:
Polynômes aux coefficients réels, polynôme nul, racines d'un polynôme, nombres complexes conjuqués, divisibilité des polynômes.
Enoncé:
Trouver toutes les racines du polynôme aux coefficients réels
en sachant l'une, à savoir: x = 2 + i.
Réponse:
a = - 14, b = 5; S = {2 + i, 2 - i, 1, - 1, 1/2}.
EXEMPLE 2
Date de la publication: : 04.11.2010Support théorique:
Polynôme aux coefficients réels, racine indépendante d'un paramètre réel.
Enoncé:
Montrer que le polynôme aux coefficients réels suivant admet une racine qui ne dépend
pas du paramètre réel m:
EXEMPLE 3
Date de la publication: : 06.08.2011Support théorique:
Polynômes aux coefficients réels, équations algébriques, racines complexes non
réelles, nombres complexes conjugués, relations de Viète.
Enoncé:
Soit le polynôme aux coefficients réels f = x³ - (a + 1)·x² + (a + 5)·x - 5.
Résoudre l'équation algébrique f(x) = 0, en sachant qu'elle admet une racine de la
forme 1 + b·i, où b est un nombre réel non nul.
Réponse:
S = {1; 1 + 2i; 1 - 2i}.
EXEMPLE 4
Date de la publication: : 16.09.2011Support théorique:
Polynômes aux coefficients réels, équations algébriques, racines complexes non
réelles, le discriminant d'une équation du second degré.
Enoncé:
Soit le polynôme f € R[X], f = X³ - (2a - 1)X² - (3a - 2)X - a + 2.
Trouver le paramètre entier a, tel que l'équation algébrique f(x) = 0 admette une
seule racine réelle.
Réponse:
a € {- 1; 0}.
CATEGORIES :
- 1. BREVIAIRE THEORIQUE pour GYMNASE.
- 2. ALGORITHMES DANS LES MATHEMATIQUES DU GYMNASE
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3. BREVIAIRE THEORIQUE pour LYCEE.
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