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Puisque l'ensemble des nombres complexes inclut l'ensemble des nombres

réels, on en déduit que toutes les propriétés des polynômes aux coefficients

complexes sont vérifiées pour les polynômes aux coefficients réels, mais pas

inversement!

Ces propriétés permettent un abord unitaire des équations algébriques

(aux coefficients complexes).

THEORIE

Date de la publication: : 21.07.2010

Forme canonique:

{f}\in{\mathbb{C}[X]},f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},\;{{a_n}}\neq{0},{f}\in{\mathbb{C}[X]},f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},\;{{a_n}}\neq{0},

où an, n, aet X sont, respectivement,

le coefficient dominant, le degré, le terme constant

et

l'indéterminé du polynôme f.

Définitions et propriétés: 

  • Le polynôme f = a(nombre réel non-nul) s'appelle polynôme constant et son degré est égal à zéro et le polynôme f = 0, dont tous ses coefficients sont nuls, s'appelle le polynôme nul, son degré étant, par définition, égal à -oo.
LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 6

Date de la publication: : 18.02.2016

Suport teoretic:

Polynômes coefficients complexes,afixe d'un point,distance entre 2 points,équation d'une droite,déterminants

Enoncé:

Soit le polynôme

fЄC[X], f = z² - (4+3i)z + 7 + i. 

a) Calculer la distance entre les points A et B du plan complexe,

ayant pour afixes les racines du polynôme. 

b) Déterminer l'équation de la droite (AB).  

Réponce: 

a) d(AB) = √(29); b) 5x - 2y - 7 = 0 . 

LA SUITE DE: EXERCICE 6

EXERCICE 5

Date de la publication: : 20.10.2014

Support théorique:

Polynômes coefficients complexes,nombres imaginaires.

Enoncé:

Trouver les racines du polynôme 

fЄC[X], f = X³ - 3iX² - 2iX - 6m,

où m est un paramètre réel, en sachant qu'il admet une racine imaginaire.

Réponse:

S = {3i,-1-i,1+i}.

LA SUITE DE: EXERCICE 5

EXERCICE 4

Date de la publication: : 03.04.2014

Support théorique:

Polynômes,coefficients complexes,division des polynômes,nombres complexes,

systèmes linéaires.

Enoncé:

Déterminer le reste de la division du polynôme 

f=X^{2014}+X^3+X^2+X+1f=X^{2014}+X^3+X^2+X+1

par le polynôme

g = X³ + X² + X + 1.

Réponse:

r = X².

LA SUITE DE: EXERCICE 4

EXERCICE 3

Date de la publication: : 29.10.2011

Suport théorique:

Polynômes,nombres complexes,forme trigonométrique,racines unité.

Enoncé: 

Soit le polynôme aux coefficients complexes

f=(1+i)X^{64}+(1-i)X^{32}-X^{16}-1f=(1+i)X^{64}+(1-i)X^{32}-X^{16}-1

et le nombre complexe 

z={\frac{1}{2}}\cdot{(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}})}.z={\frac{1}{2}}\cdot{(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}})}.

Calculer f(z).

Réponse:

f(z) = 0.

LA SUITE DE: EXERCICE 3

 

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