Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée. RSS/XML

»POLYNOMES AUX COEFFICIENTS COMPLEXES

Puisque l'ensemble des nombres complexes inclut l'ensemble des nombres réels, on en déduit que toutes les propriétés des polynomes aux coefficients complexes sont vérifiées pour les polynomes aux coefficients réels, mais pas inversement! Ces propriétés permettent un abord unitaire des équations algébriques (aux coefficients complexes).

THEORIE

Date de la publication: : 21.07.2010

Forme canonique:

${f}\in{\mathbb{C}[X]},f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},\;{{a_n}}\neq{0},$ {f}\in{\mathbb{C}[X]},f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},\;{{a_n}}\neq{0},

où an, n, ao et X sont, respectivement, le coefficient dominant, le degré, le terme

constant et l'indéterminé du polynôme f.

Définitions et propriétés:

Le polynôme f = ao (nombre réel non-nul) s'appelle polynôme constant et son

degré est égal à zéro et le polynôme f = 0, dont tous ses coefficients sont nuls,

s'appelle le polynôme nul, son degré étant, par définition, égal à - oo.

CLICK ICI POUR DECOUVRIR DAVANTAGE SUR: THEORIE

Posté dans POLYNOMES AUX COEFFICIENTS COMPLEXES|Voir commentaires (0)

EXEMPLE 1

Date de la publication: : 18.08.2010

Support théorique:

Racines complexes d'un polynôme aux coefficients complexes, unité imaginaire, raisonnement par absurde, factorisation d'un polynôme.

Enoncé:

On donne le polynôme f = X³ - 2iX² + 5X - 6i, où i c'est l'unité imaginaire.

1) Montrer que f n'admet pas de racines réelles;

2) Résoudre l'équation f(x) = 0, dans l'ensemble des nombres complexes.

Réponse:

2) S = {i, - 2i, 3i}.

CLICK ICI POUR DECOUVRIR DAVANTAGE SUR: EXEMPLE 1

Posté dans POLYNOMES AUX COEFFICIENTS COMPLEXES|Voir commentaires (0)

EXEMPLE 2

Date de la publication: : 29.12.2010

Support théorique:

Racines d'un polynôme aux coefficients complexes, partie réelle et partie imaginaire d'un nombre complexe.

Enoncé:

Trouver toutes les racines du polynôme aux coefficients complexes:

f(x) = X³ - (3 + 2i)X² - (1 - 4i)X + 3 + 6i.

Réponse:

S = {-1, 3, 1 + 2i}.

CLICK ICI POUR DECOUVRIR DAVANTAGE SUR: EXEMPLE 2

Posté dans POLYNOMES AUX COEFFICIENTS COMPLEXES|Voir commentaires (0)

EXEMPLE 3

Date de la publication: : 29.10.2011

Suport théorique:

Polynômes aux coefficients complexes, nombres complexes sous forme

trigonométriques , racines d'ordre n de l'unité.

Enoncé:

Soit le polynôme aux coefficients complexes

$f=(1+i)X^{64}+(1-i)X^{32}-X^{16}-1$ f=(1+i)X^{64}+(1-i)X^{32}-X^{16}-1

et le nombre complexe

$z={\frac{1}{2}}\cdot{(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}})}.$ z={\frac{1}{2}}\cdot{(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}})}.

Calculer f(z).

Réponse:

f(z) = 0.

CLICK ICI POUR DECOUVRIR DAVANTAGE SUR: EXEMPLE 3

Posté dans POLYNOMES AUX COEFFICIENTS COMPLEXES|Voir commentaires (0)

Sélectionner ce link pour me contacter par YAHOO MESSENGER!

CATEGORIES :

Archives du blog

Developed by Hagau Ioan