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Notion fondamentale dans le contenu de l'algèbre linéaire et des

structures algébriques, les opérations avec des permutations sont

fréquemment rencontrées dans des exercices (à un degré élevé de

difficulté) aux différents concours et examens.

Voilà ici les choses les plus importantes ci-dessous:

THEORIE

Date de la publication: : 02.11.2010

Permutations. Définitions et propriétés:

On appelle permutation de degré n toute fonction f bijective, définie sur A et

à valeurs dans A, où A = {1, 2, 3, ..., n} et n est naturel non-nul. 

L'ensemble de toutes les permutations de degré n

(apellées aussi substitutions de degré n) se note par Sn et, évidemment,

le cardinal de cet ensemble est égal à n!

Une permutation quelconque σ se représente suggestivement sous la forme du tableau:

\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}.\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}.

Composition des permutations:

Etant données les permutations

\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix},\;\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix},\; \;\tau=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\tau(1)&\tau(2)&\cdots&\tau(n)\end{pmatrix},\;\tau=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\tau(1)&\tau(2)&\cdots&\tau(n)\end{pmatrix},

leur produit (ou la composée) est défini par

(στ)(k) = (σ ο τ)(k) = σ(τ(k)), k = 1, 2, ..., n 

et le résultat est une nouvelle permutation, qui se note στ ου σ ο τ,

à savoir:

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 6

Date de la publication: : 24.10.2014

Support théorique:

Permutations,substitutions,composition des permutations,transpositions,permutation

identique,composée des fonctions.

Enoncé:

Ecrire sous forme de produit de transpositions la permutation suivante:

\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&5&2&1&4\end{pmatrix}.\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&5&2&1&4\end{pmatrix}.

Réponse:

\sigma=(34)\circ(23)\circ(14).\sigma=(34)\circ(23)\circ(14).  

LA SUITE DE: EXERCICE 6

EXERCICE 5

Date de la publication: : 14.10.2014

Support théorique:

Calculs sur permutations,signes permutations.

Enoncé:

Résoudre l'équation 

x^{n^2+n+2}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix},x^{n^2+n+2}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix},

où xЄS5 et nЄN.

Réponse:

x
ЄΦ.

LA SUITE DE: EXERCICE 5

EXERCICE 4

Date de la publication: : 14.10.2014

Support théorique:

Composition des permutations,nombre inversions,signe permutations.

Enoncé:

On donne les permutations:

\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&5&3&1&4&6\end{pmatrix}\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&5&3&1&4&6\end{pmatrix}

et

\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\a&b&c&d&e&f\end{pmatrix}\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\a&b&c&d&e&f\end{pmatrix} .

Trouver le signe de la permutation τ, tel que:

{\tau}{\sigma}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\6&(b-c)&(e-d)&2&(c+f)&(e-a)\end{pmatrix}.{\tau}{\sigma}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\6&(b-c)&(e-d)&2&(c+f)&(e-a)\end{pmatrix}.

Réponse:

ε(τ) = -1.

LA SUITE DE: EXERCICE 4

EXERCICE 3

Date de la publication: : 21.10.2011

Support théorique:

Composition des permutations,permutation symétrique,équations.

Enoncé:

Montrer que l'équation suivante, définie sur le groupe des permutations

du quatrième degré, admet une solution unique:

{\sigma}\circ{x}=\tau,{\sigma}\circ{x}=\tau,

\sigma={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&a&1&b\end{pmatrix}}\;et\;\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\a&3&b&1\end{pmatrix}.\sigma={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&a&1&b\end{pmatrix}}\;et\;\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\a&3&b&1\end{pmatrix}.

Réponse:

x=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix}.x=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix}.

LA SUITE DE: EXERCICE 3

 

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