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Date de la publication: : 01 Février, 2012

OPERATIONS SUR DES FRACTIONS ORDINAIRES

Somme algébrique de 2 ou plusieurs fractions.

Exemple:

$\frac{1}{6}-\frac{5}{9}+\frac{17}{10}=\frac{1\cdot15}{6\cdot15}-\frac{5\cdot10}{9\cdot10}+\frac{17\cdot9}{10\cdot9}=\frac{15}{90}-\frac{50}{90}+\frac{153}{90}=\frac{118}{90}=\frac{118:2}{90:2}=\frac{59}{45}=1\frac{14}{45}.$ \frac{1}{6}-\frac{5}{9}+\frac{17}{10}=\frac{1\cdot15}{6\cdot15}-\frac{5\cdot10}{9\cdot10}+\frac{17\cdot9}{10\cdot9}=\frac{15}{90}-\frac{50}{90}+\frac{153}{90}=\frac{118}{90}=\frac{118:2}{90:2}=\frac{59}{45}=1\frac{14}{45}.

On a effectué les pas suivants:

On a calculé le dénominateur commun (p.p.m.c. des 3 dénominateurs);
On a rammené les fractions au même dénominateur (à savoir [6;9;10] = 90), en les amplifiant chacune par le quotient de la division de 90 par son dénominateur;
On a effectué la somme algébrique des numérateurs ainsi obtenus et l'on a gardé le dénominateur commun;
On a simplifié la fraction obtenue;
On a fait sortir l'entier de la fraction.

Produit de 2 ou plusieurs fractions.

${\frac{a}{b}}\cdot{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot{c}}{b\cdot{d}}.$ {\frac{a}{b}}\cdot{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot{c}}{b\cdot{d}}.

Observations:

Même procédure dans le cas du produit de plusieurs fractions;
Il est bon d'effectuer toutes les simplifications possibles avant les multiplications.

Quotient de 2 fractions.

${\frac{a}{b}}:{\frac{c}{d}}=$ {\frac{a}{b}}:{\frac{c}{d}}= ${\frac{a}{b}}\cdot{\frac{d}{c}}=$ {\frac{a}{b}}\cdot{\frac{d}{c}}= $\frac{a\cdot{d}}{b\cdot{c}}.$ \frac{a\cdot{d}}{b\cdot{c}}.

Transformation d'une fraction ordinaire en fraction décimale (nombre décimal).

Une fraction ordinaire x = a/b irréductible (donc (a,b) =1) se transforme, en divisant

le numérateur par son dénominateur, en:

Fraction décimale périodique simple, si son dénominateur, décomposé en facteurs

premiers, ne contient ni 2, ni 5.

Exemple:

13/21 = 13/3·7 = 0,619047619047 ... = 0,(619047).

Fraction décimale périodique mixte, si son numérateur, décomposé en facteurs

premiers, contient à côté de 2 ou 5 aussi d'autres facteurs premiers, différents de

ceux-ci.

Exemple:

1/6 = 1/2·3 = 0,1666 ... = 0,1(6).

Observations:

1) Tout entier peut être écrit en tant que fraction périodique simple.

Exemple: - 47 = - 47,000 ... = - 47,(0).

2) Tout nombre rationnel (de la forme p/q, où p et q sont des entiers, q non nul), peut

être écrit sous la forme d'une fraction periodique (simple ou mixte).

3) Etant donné que les nombres irrationnels (réels, mais non rationnels) peuvent

être présentés en tant que nombres décimaux, où les chiffres décimaux ne se répètent

pas, on peut affirmer que tout réel est bien une fraction décimale (périodique ou

non) à une infinité de chiffres décimaux.

Transformation d'une fraction périodiques en fractione ordinaire.

Une fraction décimale périodique simple (sous-unitaire) se transforme en fraction

ordinaire de la façon suivante:

$0,({a_1a_2a_3}\cdots{a_p})=$ 0,({a_1a_2a_3}\cdots{a_p})= $\begin{matrix}\underbrace{\frac{\overline{{a_1a_2}\cdots{a_p}}}{{999}\cdots{9}}}\\p\end{matrix}.$ \begin{matrix}\underbrace{\frac{\overline{{a_1a_2}\cdots{a_p}}}{{999}\cdots{9}}}\\p\end{matrix}.

Exemples:

1) 0,(72) = 72/99 = 8/11.

2) - 53,(063) = - [53 + 0,(063)] = - (53 + 063/999) = - (53 + 7/111) = - 5890/111.

Une autre façon:

- 53,(063) = - (53.063 - 53)/999 = - (53.010/999) = - 5890/111.

Une fraction décimale périodique mixte (sous-unitaire) se transforme en fraction

ordinaire de la façon suivante:

$0,{a_1a_2a_3}\cdots{a_n}({a_{n+1}a_{n+2}}\cdots{a_{n+p}})=\frac{\overline{{a_1}{a_2}\cdots{a_n}{a_{n+1}}\cdots{a_{n+p}}}-\overline{{a_1}{a_2}\cdots{a_n}}}{999\cdots9000\cdots{0}}$ 0,{a_1a_2a_3}\cdots{a_n}({a_{n+1}a_{n+2}}\cdots{a_{n+p}})=\frac{\overline{{a_1}{a_2}\cdots{a_n}{a_{n+1}}\cdots{a_{n+p}}}-\overline{{a_1}{a_2}\cdots{a_n}}}{999\cdots9000\cdots{0}}

(au dénominateur, le chiffre 9 se répète p fois, tandis que le chiffre 0 se répète n fois).

Exemples:

1) 0,23(4) = (234 - 23)/900 = 211/900.

2) 15,0(81) = 15 + 0,0(81) = 15 + (081- 0)/990 = 15 + 81/990 = 15 + 9/110 = 1.659/110.

Une autre façon:

15,0(81) = (15.081 - 150)/990 = 14.931/990 = 1.659/110.

A savoir:

$\overline{{a_1a_2a_3}\cdots{a_n}}={a_1}\cdot{10}^{n-1}+{a_2}\cdot{10}^{n-2}+\cdots+{a_{n-1}}\cdot{10}^1+{a_n}\cdot{10}^{0}$ \overline{{a_1a_2a_3}\cdots{a_n}}={a_1}\cdot{10}^{n-1}+{a_2}\cdot{10}^{n-2}+\cdots+{a_{n-1}}\cdot{10}^1+{a_n}\cdot{10}^{0}