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Les nombres réels (naturels, entiers, rationnels şi irrationnels) constituent "la matière première" des mathématiques étudiées au lycée et pas seulement!Voilà la raison de la présentation de quelques connaissances scientifiques strictement nécessaires sur:

Partie entière et partie décimale d'un nombre réel,
Puissances des nombres réels,
Radicaux arithmétiques.

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THEORIE

Date de la publication: : 21.07.2010

Partie entière d'un nombre réel:

Pour tout nombre réel a il existe un entier k, tel que a € [k,k + 1); ce nombre entier k,

noté [a], s'appelle la partie entière du nombre réel a.

Il en résulte:

${[a]}\leq{a}<{[a]}+1$ {[a]}\leq{a}<{[a]}+1

${a-1}<{[a]}\leq{a},\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.$ {a-1}<{[a]}\leq{a},\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.

Partie décimale d'un nombre réel:

$\{a\}={a-[a]}\Rightarrow{{0}\leq\{a\}<{1}},\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.$ \{a\}={a-[a]}\Rightarrow{{0}\leq\{a\}<{1}},\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 14.09.2010

Support théorique:

Partie entière d'un nombre réel, résolution d'un système d'inéquations du premier degré, opérations portant sur des ensembles de nombres réels.

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation:

$\Big{[}\frac{2x+1}{3}\Big{]}=\Big{[}\frac{3x+1}{2}\Big{]}.$ \Big{[}\frac{2x+1}{3}\Big{]}=\Big{[}\frac{3x+1}{2}\Big{]}.

Réponse:

$S={[-1,-\frac{1}{2})}\cup{[-\frac{1}{3},\frac{1}{3})}.$ S={[-1,-\frac{1}{2})}\cup{[-\frac{1}{3},\frac{1}{3})}.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 13.10.2010

Support théorique:

Partie entière d'un réel, signe de la fonction du second degré, extremum de la fonction du second degré, systèmes d'inéquations, radical d'ordre pair, opérations portées sur des ensembles.

Enoncé:

Résoudre l'équation transcendente

$[3-2x-x^2]=\sqrt{3-2y-y^2},\;(x,y)\in{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}},$ [3-2x-x^2]=\sqrt{3-2y-y^2},\;(x,y)\in{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}},

où [a] signifie la partie entière du réel a.

Réponse:

$\mathcal{S}={A}\cup{B}\cup{C},$ \mathcal{S}={A}\cup{B}\cup{C}, unde

$A=\{(x,y)\in{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}}|x\in{[-3,-1-\sqrt{3})}\cup{(-1+\sqrt{3},1]},\;y\in{\{-3;1\}}\},$ A=\{(x,y)\in{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}}|x\in{[-3,-1-\sqrt{3})}\cup{(-1+\sqrt{3},1]},\;y\in{\{-3;1\}}\},

$B=\{(x,y)\in{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}}|x\in{[-1-\sqrt{3},-1-\sqrt{2})}\cup{(-1+\sqrt{2},-1+\sqrt{3}]},\;y\in{\{-1\pm\sqrt{3}\}}\},$ B=\{(x,y)\in{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}}|x\in{[-1-\sqrt{3},-1-\sqrt{2})}\cup{(-1+\sqrt{2},-1+\sqrt{3}]},\;y\in{\{-1\pm\sqrt{3}\}}\},

$C=\{(x,y)\in{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}}|x\in{[-1-\sqrt{2},-2)}\cup{(0,-1+\sqrt{2}]},\;y\in{\{-1\}}\},$ C=\{(x,y)\in{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}}|x\in{[-1-\sqrt{2},-2)}\cup{(0,-1+\sqrt{2}]},\;y\in{\{-1\}}\},

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EXEMPLE 3

Date de la publication: : 21.10.2010

Support théorique:

Partie entière d'un réel, valeur absolue d'un réel, signe de la fonction du second degré, opérations portées sur des ensembles (intervalles).

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation suivante:

$[x^4+x^2-1]=0.$ [x^4+x^2-1]=0.

Réponse:

$\mathcal{S}={\bigg(-1,-\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\bigg]}$ \mathcal{S}={\bigg(-1,-\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\bigg]} $\cup$ \cup ${\bigg[\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},1\bigg)}.$ {\bigg[\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},1\bigg)}.