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»INVERSE D'UNE MATRICE

La symétrisabilité d'un élément par rapport à une loi de composition

multiplicative est un problème très important dans la théorie des

structures algébriques.

En particulier, la théorie de la compatibilité des systèmes d'équations linéaires

est fondée sur la symétrisabilité de certains éléments de l'anneau des

matrices carées aux coefficients dans un anneau commutatif.

Voilà pourquoi la connaissance de l'algorithme concernant le calcul de

l'inverse d'une matrice carée (non-dégénérée!) aux coefficients dans un

anneau commutatif ( les cas le plus souvent rencontrés en visant l'ensemble

des réels, des nombres complexes ou des classes résiduelles modulo n ) c'est

tellement nécéssaire!

THEORIE

Date de la publication: : 09.07.2011

Soit A une matrice carée d'ordre n aux coefficients complexes.

La matricea A est inversible si et seulement si det(A) est différent de 0

(dans ce cas, la matrice A et dite non-singulière ou non-dégénérée).

L'inverse de la matrice A est donnée par la formule:

${A^{-1}}={\frac{1}{detA}}\cdot{A^*},$ {A^{-1}}={\frac{1}{detA}}\cdot{A^*},

ou A* (la matrice adjointe de la matrice A) s'obtient en remplacant chaque element

de la matrice tA (matrice transposee de la matrice A) par son complement

algébrique:

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 09.06.2010

Suport teoretic:

Inverse d'une matrice, matrice inversibile, matrice non-singulière, matrice non-dégénérée, transposé d'une matrice, matrice adjointe, complément algébrique, mineur d'un élément, matrice unité.

Enoncé:

Soit la matrice

$A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\2&3&0\\0&-2&1\end{pmatrix}.$ A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\2&3&0\\0&-2&1\end{pmatrix}.

Montrer que la matrice A est inversible et calculer son inverse.

Réponse:

$A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1&2\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}&{-\frac{4}{3}}\\{\frac{4}{3}}&{-\frac{2}{3}}&{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}.$ A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1&2\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}&{-\frac{4}{3}}\\{\frac{4}{3}}&{-\frac{2}{3}}&{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 13.05.2011

Support théorique:

Equation matricielle, matrice inversible, classes résiduelles modulo n, l'inverse d'une matrice, transposée d'une matrice, mineur d'un élément, complément algébrique d'un élément.

Enoncé:

Résoudre, dans l'ensemble des classes résiduelles modulo 5, l'équation matricielle A·X + B = O5, où

$A=\begin{pmatrix}{\hat{2}}&{\hat{3}}&{\hat{0}}\\{\hat{4}}&{\hat{1}}&{\hat{3}}\\{\hat{1}}&{\hat{2}}&{\hat{4}}\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}{\hat{0}}&{\hat{1}}&{\hat{1}}\\{\hat{1}}&{\hat{2}}&{\hat{0}}\\{\hat{3}}&{\hat{0}}&{\hat{2}}\end{pmatrix}.$ A=\begin{pmatrix}{\hat{2}}&{\hat{3}}&{\hat{0}}\\{\hat{4}}&{\hat{1}}&{\hat{3}}\\{\hat{1}}&{\hat{2}}&{\hat{4}}\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}{\hat{0}}&{\hat{1}}&{\hat{1}}\\{\hat{1}}&{\hat{2}}&{\hat{0}}\\{\hat{3}}&{\hat{0}}&{\hat{2}}\end{pmatrix}.

Réponse:

$X=\begin{pmatrix}{\hat{4}}&{\hat{4}}&{\hat{2}}\\{\hat{1}}&{\hat{4}}&{\hat{2}}\\{\hat{1}}&{\hat{2}}&{\hat{0}}\end{pmatrix}.$ X=\begin{pmatrix}{\hat{4}}&{\hat{4}}&{\hat{2}}\\{\hat{1}}&{\hat{4}}&{\hat{2}}\\{\hat{1}}&{\hat{2}}&{\hat{0}}\end{pmatrix}.

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EXEMPLE 3

Date de la publication: : 27.06.2010

Support théorique:

Cardinal d'un ensemble, équation matricielle, matrice inversible, classes résiduelles modulo n, inverse d'une matrice, diviseur de zéro.

Enoncé:

Calculer Card{X|A·X = B}, où A et B sont matrices aux éléments dans l'ensemble des

classes résiduelles modulo 6 et

$A=\begin{pmatrix}\hat{4}&\hat{5}\\\hat{2}&\hat{3}\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{2}\\\hat{3}&\hat{4}\end{pmatrix}.$ A=\begin{pmatrix}\hat{4}&\hat{5}\\\hat{2}&\hat{3}\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{2}\\\hat{3}&\hat{4}\end{pmatrix}.

Réponse:

Card(X|A·X = B) = 0.

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LE ROUMAIN

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