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Le calcul portant sur des matrices occupe une place importante dans la

théorie des systèmes  d'équations linéaires (et pas seulement).

Son utilisation dans l'étude et la résolution de ce type de systèmes

permet des solutions rapides et, chose importante, la construction des

algorithmes  pour concevoir des logiciels qui peuvent être roulés sur le PC. 

THEORIE

Date de la publication: : 23.07.2010

Définitions et propriétés:

Soit un corps commutatif K et l'ensemble Im,n = (i,j), où 

i = 1, 2, ... ,m et j = 1, 2, ... , n.

Une fonction A:Im,n - > K s'apelle matrice du type (m,n) 

(ayant m lignes et n collones), aux éléments dans le corps K.

La matrice A s'écrit sous la forme

\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{array}\right).\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{array}\right).

La trace d'une matrice (carrée, d'ordre n):

Soit A = (aij) une matrice carrée d'ordre n, aux éléments dans un

corps commutatif K; on appelle la trace de la matrice A le scalaire 

\sum_{i=1}^{i=n}{{a}_{ii}}\sum_{i=1}^{i=n}{{a}_{ii}} ,  noté Tr(A).

Exemple: 

La trace de la matrice 

A=\begin{pmatrix}2&3\\6&11\end{pmatrix}A=\begin{pmatrix}2&3\\6&11\end{pmatrix}  

c'est 

Tr(A)=a_{11}+a_{22}=2+11=13.Tr(A)=a_{11}+a_{22}=2+11=13.

Observations:

1) La matrice carée (m = n), dont tous ses éléments sont égaux à 0 

(élément neutre du corps K par rapport à la loi additive),

s'appelle matrice nulle.

Notation: On. Exemple:

O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.

LA SUITE DE: THEORIE

OPERATIONS PORTEES SUR LES MATRICES

Date de la publication: : 12.01.2013

Addition:

Deux matrices du même type (ayant même nombre de lignes et même nombre de

colonnes) s'additionnent selon la règle suivante:

A(aij) + B(bij) = C(aij+bij).

Exemple:

\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&4&-5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&2&-7\\1&2&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&-4\\1&6&1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&4&-5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&2&-7\\1&2&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&-4\\1&6&1\end{pmatrix}.

Multiplication d'une matrice par un nombre complexe:

On multiplie tous les éléments de la matrice par le nombre respectif, comme suit:

α·A(aij) = A(α·aij), où αЄC.

Exemple:

3\cdot{\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&4&-5\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}6&-3&9\\0&12&-15\end{pmatrix}.3\cdot{\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&4&-5\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}6&-3&9\\0&12&-15\end{pmatrix}.

Multiplication de deux matrices:

LA SUITE DE: OPERATIONS PORTEES SUR LES MATRICES

EXERCICE 20

Date de la publication: : 07.05.2016

Support théorique:

Opérations sur matrices,suites périodiques.

Enoncé:

Soit la matrice

A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\;\cdotA=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\;\cdot  

Calculer la somme:

S=A+A^2+A^3+A^4+\cdots+A^{2016}\;\cdotS=A+A^2+A^3+A^4+\cdots+A^{2016}\;\cdot

Réponse: 

S=\begin{pmatrix}672&672&672\\ 672&672&1344\\672&672&672\end{pmatrix}\;\cdotS=\begin{pmatrix}672&672&672\\ 672&672&1344\\672&672&672\end{pmatrix}\;\cdot  

LA SUITE DE: EXERCICE 20

EXERCICE 19

Date de la publication: : 20.05.2015

Support théorique:

Opérations sur matrices,équations sur matrices.

Enoncé:

Résoudre l'équation

\sum_{k=0}^{k=n-1}{X^{k+1}}=\sum_{k=0}^{k=n-1}{X^{k+1}}= {\frac{3(x-1)^{n-1}-2(x-1)^{n-2}-1}{x-2}}\cdot{X},\;n\in{\mathbb{N}},\;{n}\ge{2},{\frac{3(x-1)^{n-1}-2(x-1)^{n-2}-1}{x-2}}\cdot{X},\;n\in{\mathbb{N}},\;{n}\ge{2},

\;ou\;X=\begin{pmatrix}x&-1\\x&-1\end{pmatrix},\;x\in{\mathbb{R}}-\{1;2\}\cdot\;ou\;X=\begin{pmatrix}x&-1\\x&-1\end{pmatrix},\;x\in{\mathbb{R}}-\{1;2\}\cdot

Réponse: 

X=\begin{pmatrix}3&-1\\3&-1\end{pmatrix}\cdotX=\begin{pmatrix}3&-1\\3&-1\end{pmatrix}\cdot

LA SUITE DE: EXERCICE 19

EXERCICE 18

Date de la publication: : 21.04.2015

Support théorique:

Opérations sur matrices,trace d'une matrice,relation Caylay-Hamilton.

Enoncé:

Soit XЄM2(Z), tel que Tr(X) = 0 et det(X) = -3.

Calculer

X^{n(n+1)}\;\cdotX^{n(n+1)}\;\cdot  

Réponse: 

X^{n(n+1)}={3^{\frac{n(n+1)}{2}}}\cdot{I_2}\;\cdotX^{n(n+1)}={3^{\frac{n(n+1)}{2}}}\cdot{I_2}\;\cdot  

LA SUITE DE: EXERCICE 18

 

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