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»LIMITES DE SUITES

La notion de suite est fondamentale dans l'analyse mathématiques, et le

calcul de la limite d'une suite, lorsqu'elle existe, impose, le plus souvent, la

connaissance d'un paquet consistent de propriétés, de formules et critères

remarquables, la maitrise de quelques habiletés spéciales pour

l'élimination des opérations exceptés.

Voilà, plus bas, en bref, ce qu'il faut savoir pour aborder, en connaissance de

cause, les limites de suites:

THEORIE

Date de la publication: : 11.05.2011

Définition de la limite finie d'une suite numérique:

Un nombre réel L est la limite d'une suite (xn) si tout voisinage de L contient tous les

termes de la suite, excepté (éventuellement) un nombre fini de termes, ou,

équivalent: en dehors de n'importe pas quel voisinage de L il-y-a (au plus) un nombre

fini de termes de la suite.

On dit, dans ce cas-là, que la suite est convergente à L.

Définition de la limite infinie d'une suite numérique:

Une suite (xn) a pour limite + oo, si pour tout M > 0, il existe un k naturel, tel que

xk > M; on dit, dans ce cas, que la suite est illimitée à droite, ou que la suite tend

vers + oo;

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 25.08.2010

Support théorique:

Suites convergentes, définition de la limite d'une suite, partie entière d'un réel, résolution d'une inéquation, valeur absolue d'un nombre réel, voisinage symétrique de la limite, rang d'un terme.

Enoncé:

Soit la suite réelle, définie par: (an) cu n € Ν*, an = (1 - 2n) / (3n - 1 ).

Démontrer, en utilisant la définition à l'aide de ε, que lim(an) = - 2/3.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 06.11.2010

Support théorique:

Calcul de la limite d'une suite, propriétés des logaritmes, limites remarquables.

Enoncé:

Calculer la limite L de la suite définie par son terme général

$a_n=\frac{ln(n^2+n+1)}{n},\;n\in{\mathbb{N}^*}.$ a_n=\frac{ln(n^2+n+1)}{n},\;n\in{\mathbb{N}^*}.

Réponse:

L = 0.

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EXEMPLE 3

Date de la publication: : 24.11.2010

Support théorique:

Suites récurrentes d'ordre 2, équation caractéristique, résolution des

systèmes linéaires d'équations, limites de suites, suites bornées.

Enoncé:

Calculer:

$L={lim}_{{n}\rightarrow{\infty}}{({x_n}\cdot{y_n})},$ L={lim}_{{n}\rightarrow{\infty}}{({x_n}\cdot{y_n})},

en sachant que

$6x_{n+2}-5x_{n+1}+x_n=0,\;\forall{n\in{N^*}},\;x_1=-1,\;x_2=1$ 6x_{n+2}-5x_{n+1}+x_n=0,\;\forall{n\in{N^*}},\;x_1=-1,\;x_2=1

$y_n=sin{(n^2+n+1)}+\sqrt[(n^2+n+2)]{n^2+n+2}+\frac{1}{n^2+n+3},\;\forall{n}\in{\mathbb{N}}.$ y_n=sin{(n^2+n+1)}+\sqrt[(n^2+n+2)]{n^2+n+2}+\frac{1}{n^2+n+3},\;\forall{n}\in{\mathbb{N}}.

Réponse:

L = 0.

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LE ROUMAIN

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