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Date de la publication: : 10 Octobre, 2011

Coordonnées cartésiennes dans le plan:

Etand donné un système de coordonnées cartésiennes xOy, on sait qu'entre

l'ensemble des points du plan (p) et l'ensemble R² (le produit cartésien RXR, ou bien

l'ensemble de tous les couples (x,y), où x et y sont des réels) il existe une correspondence

bijective f:(p) - > R², c'est-à-dire pour tout point M du plan (p),

il existe un couple unique (x,y), tel que f((x,y)) = M.

Les nombres x et y s'appellent l'abscisse, respectivement l'ordonnéé du point M, celles-ci étant

nomées les coordonnées cartésiennes du point M. Notation: M(x,y).

Distance entre deux points A(a,b) et B(c,d) du plan:

$d(A,B)=AB=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}.$ d(A,B)=AB=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}.

Coordonnées polaires dans le plan:

Soit un point fixe O (appelé pôle ou origine) et un demi-axe aussi [Ox

(dite axe polaire); pour un point quelconque M du plan (p), différent de O, notons par

ρ = d(O,M) et par φ la mesure de l'angle formé par les demi-droites [Ox et [OM, en le

sens trigonométrique, où φ € [0, 2π).

On constate aisément qu'au point M il corresponde un couple unique, à savoir

(ρ, φ), tel qu'on peut affirmer que la fonction

f:(p)\{O} - > {(ρ,φ)|ρ € (0, +00), φ € [0,2π)}

est bijective. Les deux nombres réels, ρ et φ, uniques, s'appellent

les coordonnées polaires du point M: ρ est s'appelle rayon vecteur ( ou module) du

point M, tandis que φ s'appelle la phase, amplitude ou argument.

Observation:

Pour le point O, ρ = 0, mais φ est indéterminé.

Relations entre les coordonnées cartésiennes et polaires du même point:

En considérant l'axe polaire en tant que l'axe des abscisses et l'axe perpendiculaire

en O à l'axe polaire comme l'axe des ordonnées, on trouve aisément les liens entre les

coordonnées cartésiennes (x, y) et les coordonnées polaires (ρ, φ) du même point M:

x = ρ·cosφ, y = ρ·sinφ.

Il en résulte immédiatement:

x² + y² = ρ²,

$\rho=\sqrt{x^2+y^2},$ \rho=\sqrt{x^2+y^2},

$cos{\varphi}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},$ cos{\varphi}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},

$sin{\varphi}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$ sin{\varphi}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.

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