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La symétrisabilité d'un élément par rapport à une loi de composition 

multiplicative est un problème très important dans la théorie des

structures algébriques.

En particulier, la théorie de la compatibilité des systèmes d'équations 

linéaires est fondée sur la symétrisabilité de certains éléments de

l'anneau des matrices carées aux coefficients dans un anneau commutatif.

Voilà pourquoi la connaissance de l'algorithme concernant le calcul de

l'inverse d'une matrice carée (non-dégénérée!) aux coefficients dans un

anneau commutatif (les cas le plus souvent rencontrés en visant

l'ensemble des réels, des nombres complexes ou des classes  résiduelles 

modulo n) c'est tellement nécéssaire!

THEORIE

Date de la publication: : 09.07.2011

Définition: 

Une matrice carée A est dite inversible s'il existe une matrice du même type, notée

A^{-1},A^{-1}, telle que

{A}\cdot{A^{-1}}={A^{-1}}\cdot{A}=I,{A}\cdot{A^{-1}}={A^{-1}}\cdot{A}=I,

ou I c'est la matrice unité. 

Théorème:

Soit A une matrice carée d'ordre n aux coefficients complexes.

La matricea A est inversible si et seulement si det(A) est différent de 0

(dans ce cas, la matrice A et dite non-singulière ou non-dégénérée).

L'inverse de la matrice A est donnée par la formule:

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 3

Date de la publication: : 27.06.2010

Support théorique:

Equations matricielles,matrices inversibles,classes résiduelles,diviseurs de zéro.

Enoncé:

Calculer Card{X|A·X = B}, où A et B sont matrices aux éléments dans l'ensemble des

classes résiduelles modulo 6 et 

A=\begin{pmatrix}\hat{4}&\hat{5}\\\hat{2}&\hat{3}\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{2}\\\hat{3}&\hat{4}\end{pmatrix}.A=\begin{pmatrix}\hat{4}&\hat{5}\\\hat{2}&\hat{3}\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{2}\\\hat{3}&\hat{4}\end{pmatrix}.

Réponse:

Card(X|A·X = B) = 0.

LA SUITE DE: EXERCICE 3

EXERCICE 2

Date de la publication: : 13.05.2011

Support théorique:

Equations matricielles,matrices inversibles,classes résiduelles.

Enoncé: 

Résoudre, dans l'ensemble des classes résiduelles modulo 5, l'équation matricielle  

A·X + B = O5, où

A=\begin{pmatrix}{\hat{2}}&{\hat{3}}&{\hat{0}}\\{\hat{4}}&{\hat{1}}&{\hat{3}}\\{\hat{1}}&{\hat{2}}&{\hat{4}}\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}{\hat{0}}&{\hat{1}}&{\hat{1}}\\{\hat{1}}&{\hat{2}}&{\hat{0}}\\{\hat{3}}&{\hat{0}}&{\hat{2}}\end{pmatrix}.A=\begin{pmatrix}{\hat{2}}&{\hat{3}}&{\hat{0}}\\{\hat{4}}&{\hat{1}}&{\hat{3}}\\{\hat{1}}&{\hat{2}}&{\hat{4}}\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}{\hat{0}}&{\hat{1}}&{\hat{1}}\\{\hat{1}}&{\hat{2}}&{\hat{0}}\\{\hat{3}}&{\hat{0}}&{\hat{2}}\end{pmatrix}.

Réponse:

X=\begin{pmatrix}{\hat{4}}&{\hat{4}}&{\hat{2}}\\{\hat{1}}&{\hat{4}}&{\hat{2}}\\{\hat{1}}&{\hat{2}}&{\hat{0}}\end{pmatrix}.X=\begin{pmatrix}{\hat{4}}&{\hat{4}}&{\hat{2}}\\{\hat{1}}&{\hat{4}}&{\hat{2}}\\{\hat{1}}&{\hat{2}}&{\hat{0}}\end{pmatrix}.

LA SUITE DE: EXERCICE 2

EXERCICE 1

Date de la publication: : 09.06.2010

Support théorique:

Matrices inversibiles,matrices non-singulières,matrices non-dégénérées,transposée,matrice adjointe,compléments algébriques,matrice unité.

Enoncé:

Soit la matrice

A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\2&3&0\\0&-2&1\end{pmatrix}.A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\2&3&0\\0&-2&1\end{pmatrix}.

Montrer que la matrice A est inversible et calculer son inverse.

Réponse:

A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1&2\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}&{-\frac{4}{3}}\\{\frac{4}{3}}&{-\frac{2}{3}}&{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}.A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1&2\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}&{-\frac{4}{3}}\\{\frac{4}{3}}&{-\frac{2}{3}}&{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}.

LA SUITE DE: EXERCICE 1

 

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