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Définitions et théorèmes, interprétations géométriques, propriétés et

applications pratiques (aires de surfaces planes et de révolution,

longueurs d'arcs de courbe, volumes et centres de gravité) sont présentés,

succinctement, dans ce chapitre. 

DEFINITIONS

Date de la publication: : 07.12.2008

Somme Riemann (ou somme integrale), associée à la fonction f,

à la division Δ et au système des points intermédiaires ξi, c'est le nombre réel:

{\sigma}_{\Delta}{(f,\xi)}=\sum_{i=1}^{i=n}{f{({\xi}_i)}}\cdot{({{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}}).{\sigma}_{\Delta}{(f,\xi)}=\sum_{i=1}^{i=n}{f{({\xi}_i)}}\cdot{({{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}}).

Définition:

La fonction f:[a,b] -> R s'appelle 

fonction integrable Riemann sur l'intervalle [a,b]

s'il existe un nombre réel I, tel que pour toute suite Δn de divisions de l'intervalle [a,b],

{{\Delta}_{n}} =({x_0}^{(n)},{x_1}^{(n)},{x_2}^{(n)},...,{x_{{k_n}-1}}^{(n)},{x_{{k_n}}}^{(n)}),\;avec\;{{\Delta}_{n}} =({x_0}^{(n)},{x_1}^{(n)},{x_2}^{(n)},...,{x_{{k_n}-1}}^{(n)},{x_{{k_n}}}^{(n)}),\;avec\;

\lim_{n\rightarrow{\infty}}{||{\Delta}_{n}}||=0\lim_{n\rightarrow{\infty}}{||{\Delta}_{n}}||=0

et pour toute suite de points intermediaires, de la forme: 

LA SUITE DE: DEFINITIONS

PROPRIETES

Date de la publication: : 12.06.2011

Formule Leibniz-Newton:

Soit f:[a,b] - > R une fonction integrable, qui admet des primitives sur [a,b].

Alors, pour toute primitive F de la fonction f, a lieu l'égalité:

\int_{a}^{b}{f(x){dx}}=F(b)-F(a).\int_{a}^{b}{f(x){dx}}=F(b)-F(a).

Théorème de Lebesgue (cas fini):

Soit f:[a,b] - > R une fonction bornée. Si f a un nombre fini de points de discontinuité,

alors la fonction est intégrable sur [a,b].

Théorème:

LA SUITE DE: PROPRIETES

METHODES DE CALCUL

Date de la publication: : 03.04.2011

Intégration par parties:

Soit les fonctions f,g : [a,b] - > R, dérivables, et leurs dérivées f' et g' continues. Alors:

\int_{a}^{b}{f(x)}\cdot{g\int_{a}^{b}{f(x)}\cdot{g'(x)}{dx}={f(x)}\cdot{g(x)}{|}_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{f'(x)}\cdot{g(x)}{dx}.

Première méthode du changement de variable:

Soit l'intervalle J inclus dans R et les fonctions

u: [a,b] - > J et f: J - > R telles que:

a) u est une fonction dérivable, dont la dérivée est continue sur l'intervalle [a,b];

b) f est une fonction continue sur l'intervalle J.

Alors:

LA SUITE DE: METHODES DE CALCUL

EXERCICE 31

Date de la publication: : 28.03.2017

Support théorique:

Intégrales définies,polynomes aux coefficients entiers,racines entières,racines rationnelles,factorisations.

Enoncé:

Calculer:

I=\int_1^2{\frac{2x^3+3x^2-1}{4x^3-3x+1}}dx\;.I=\int_1^2{\frac{2x^3+3x^2-1}{4x^3-3x+1}}dx\;.

Réponse:

I=\frac{1}{2}+ln\sqrt[4]{27}\;.I=\frac{1}{2}+ln\sqrt[4]{27}\;.  

LA SUITE DE: EXERCICE 31

EXERCICE 30

Date de la publication: : 25.07.2016

Support théorique:

Intégrales définies,aires, fonctions convexes.

Enoncé:

Démontrer l'inégalité:

{\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{3\pi}{4}}{sin^4x}dx}<{\frac{13\pi}{384}}\;.{\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{3\pi}{4}}{sin^4x}dx}<{\frac{13\pi}{384}}\;.

LA SUITE DE: EXERCICE 30

 

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