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Les inégalités strictes ou non, de l'arithmétique, algèbre, géométrie et

trigonométrie, issues des considérations de l'ordre sur l'ensemble des

nombres réels ou du signe d'une expression algébrique, constituent 

autant de pièges à l'occasion des examens et concours scolaires.

Les plus "exploitées" inégalités, rencontrées dans les mathématiques

au gymnase, sont les suivantes:

THEORIE

Date de la publication: : 08.02.2012

Propriétés usuelles: 

  • a ≤ b et b ≤ c  = > a ≤ c; (transitivité)
  • a ≤ b et b ≤ a  = > a = b; (antisymétrie)
  • a ≤ b et c ≤ d  = > a + c ≤ b + d;
  • a ≤ b              = > a·c ≤ b·c, où c > 0;
  • a ≤ b              = > a:c ≤ b:c, où c > 0;
  • a ≤ b              = > a·c b·c, où c < 0;
  • a ≤ b              = > a:c b:c, où c < 0;
  •  

Inégalités usuelles:

1)\;{a^2 + b^2} \geq{ 2ab},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}};1)\;{a^2 + b^2} \geq{ 2ab},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}};

(égalité si et seulement si a = b)

2)\;{a^2 + b^2 + c^2}\geq{ ab + bc + ca},\forall{a,b,c}\in{\mathbb{R}};2)\;{a^2 + b^2 + c^2}\geq{ ab + bc + ca},\forall{a,b,c}\in{\mathbb{R}};

(égalité si et seulement si a = b = c)

3)\;|\frac{a}{b} + \frac{b}{a}|\geq2,\forall{a,b}\in{{\mathbb{R}}^*};3)\;|\frac{a}{b} + \frac{b}{a}|\geq2,\forall{a,b}\in{{\mathbb{R}}^*};

(égalité si et seulement si a = b ou a = -b)

4)\;|{x_1}+{x_2}|\leq{|{x}_{1}|+|{x}_{2}|},\forall{{x}_{1},\;{x}_{2}}\in{\mathbb{R}};4)\;|{x_1}+{x_2}|\leq{|{x}_{1}|+|{x}_{2}|},\forall{{x}_{1},\;{x}_{2}}\in{\mathbb{R}};

(égalité, si x1= 0 ou x2 = 0, ou x1·x2Є[0,+oo)).

5)\;{|a|}\leq{c}\Leftrightarrow -{c}\leq{a} \leq{c},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.5)\;{|a|}\leq{c}\Leftrightarrow -{c}\leq{a} \leq{c},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.

6)\;{|a|}\geq{c}\Leftrightarrow {a}\in{(-\infty,-c]\cup[c,+\infty)},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.6)\;{|a|}\geq{c}\Leftrightarrow {a}\in{(-\infty,-c]\cup[c,+\infty)},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.

Inégalité des moyennes (harmonique≤géométrique≤arithmétique≤quadratique):

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 13

Date de la publication: : 08.08.2019

Support théorique:

Fractions,inégalités. 

Enoncé: 

Démontrer l'inégalité suivante: 

E=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{100}{101}<\frac{{10}^4}{101}\cdotE=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{100}{101}<\frac{{10}^4}{101}\cdot

LA SUITE DE: EXERCICE 13

EXERCICE 12

Date de la publication: : 01.08.2018

Support théorique:

Inégalités,fractions ordinaires,majorants.

Enoncé:

En sachant que

S=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{n-1}{n}\;,S=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{n-1}{n}\;,

démontrer que

{S}\leq{\frac{(n-1)n}{4}}\;.{S}\leq{\frac{(n-1)n}{4}}\;.

pour tout nombre naturel n ≥ 2.
LA SUITE DE: EXERCICE 12

EXERCICE 11

Date de la publication: : 11.10.2017

Support téorique:

Fractions ordinaires,majorations,inégalités.

Enoncé:

Démontrer l'inégalité:

{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{2017}{2018}}<{\frac{2017^2}{2018}}\;.{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{2017}{2018}}<{\frac{2017^2}{2018}}\;.  

LA SUITE DE: EXERCICE 11

EXERCICE 10

Date de la publication: : 17.10.2016

Support théorique:

Valeur minimale,identités remarquables.

Enoncé:

Soit E(x,y) = 4x² + 9y² - 12x - 12y + 14 .

Déterminer les réels x et y, tels que l'expression E(x,y) touche sa valeur la plus petite . 

Réponse: 

x = 3/2; y = 2/3 . 

LA SUITE DE: EXERCICE 10

 

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